Por qué $\sin(x)+\sin(\pi x)$ no es periódico?

Question

Por qué $\sin(x)+\sin(\pi x)$ no es periódico?

Hay una respuesta aquí que trata de explicarlo, pero de alguna manera no lo entiendo.

Si asumimos que $T>0$ es un periodo de $\sin(x)+\sin(\pi x)$ entonces

$$\sin(x)+\sin(\pi x)=\sin(x+T)+\sin(\pi (x +T))$$

Aparentemente hay que diferenciar la ecuación anterior dos veces para obtener:

$$\sin(x)+\pi^2 \sin(\pi x)=\sin(x+T)+ \pi^2 \sin(\pi (x +T))$$

¿y luego qué?

Answer 1

Luego se restan las ecuaciones para obtener $\sin \pi x = \sin ( \pi x + \pi T)$ . Poniendo eso en tu primera ecuación obtienes $\sin x = \sin (x + T)$ . Por lo tanto, $T = 2n \pi$ para algún número entero $n$ . Por otro lado, $\sin \pi x = \sin ( \pi x + \pi T)$ le da $\sin x = \sin (x + \pi T)$ (sustituir $x$ por $\frac x \pi$ ). Esto significa que $\pi T = 2k \pi$ para algún número entero $k$ . Así que, $T = 2k$ un número entero. Pero desde antes teníamos que $T = 2n \pi$ que es un número irracional. Por lo tanto, esto es una contradicción.

Answer 2

Supongamos que $f(x)=\sin(x)+\sin(\pi x)$ es periódica con periodo $T$ . Entonces su derivada $f'(x)=\cos(x)+\pi\cos(\pi x)$ tiene periodo $T$ y lo mismo para $f''(x)=-\sin(x)-\pi^2\sin(\pi x)$

Así que tienes, evaluando $f(0)=f(T)$ y $f''(0)=f''(T)$ , $$ \begin{cases} \sin(T)+\sin(\pi T)=0\\[4px] \sin(T)+\pi^2\sin(\pi T)=0 \end{cases} $$ lo que implica $\sin(\pi T)=0$ y $\sin(T)=0$ . Desde $\pi$ es irracional, esto es imposible.