Es $\int_0^1 \frac{x^n}{\sqrt{1-x^4}}dx$ ¿convergente?

Question

$$\int_0^1 \frac{x^n}{\sqrt{1-x^4}}dx$$

Cerca de $0$ la expresión interior es convergente, eso es fácil. Cerca de $1$ parece que se acerca al infinito cuando $n \ge 0$ Pero según el libro cuando $n \ge -1$ la integral es convergente. No se da ninguna prueba. Tengo dificultades para averiguar por qué y cómo.

Me gustaría tener una interfaz para comprobar la convergencia de las integrales. No es necesario encontrar el número al que converge. Sólo hay que comprobarlo.

Answer 1

Cerca de $x=1$ el integrando explota como $\dfrac1{\sqrt{1-x}}$ por lo que la integral converge allí.

Así que el único problema real está cerca $x=0$ para lo cual necesita $n>-1$ .

Answer 2

Podría ser útil para alguien saber que esta integral tiene un valor preciso como función Beta. Con la sustitución $x^4=t$ es $$\int_0^1 \frac{x^n}{\sqrt{1-x^4}}dx=\dfrac14\int_0^1 t^\frac{n-3}{4}(1-t)^\frac{-1}{2} \ dt = \dfrac14\beta\left(\dfrac{n+1}{4},\dfrac12\right)$$ válido para $n>-1$ .