¿Por qué coinciden la convergencia uniforme, fuerte y débil para espacios vectoriales de dimensión finita?

Question

Para los operadores lineales $A_n$ , $A$ en un espacio vectorial de dimensión finita $V$ Estoy tratando de demostrar la equivalencia de

1. $\|A_n - A\| = \sup_{x \in \mathbb{C}^n, |x| = 1} |A_nx-Ax| \to 0$ como $n \to \infty$ (Convergencia uniforme; en adelante UC)
2. $\forall x\in V:$ $|A_n x - Ax| \to 0$ como $n \to \infty$ (Convergencia Fuerte; en adelante SC)
3. $\forall x, y \in V: |\langle A_n x, y \rangle - \langle Ax, y \rangle | \to 0$ como $n \to \infty$ (Convergencia débil; en adelante WC)

Puedo mostrar

1. $(UC) \implies (SC)$ : Dejemos que $x \in V$ . Entonces $x = \lambda y$ para $\lambda \in \mathbb{F}$ y $y \in V$ s.t. $|y| = 1$ . Así, $$\begin{eqnarray*} |A_n x - Ax| = \lambda|A_n y - Ay|\leq \lambda\|A_n - A\| \to 0. \end{eqnarray*}$$
2. $(SC) \implies (WC)$ por Cauchy-Schwarz, $$\begin{eqnarray*} |\langle A_n x, y \rangle - \langle Ax, y\rangle| = |\langle (A_n-A) x, y \rangle | \leq \langle (A_n-A)x, (A_n-A)x \rangle \langle y, y \rangle = |A_n x - Ax| \cdot |y| \to 0. \end{eqnarray*}$$

Para establecer la equivalencia, también necesito $(WC) \implies (UC)$ pero ahora mismo no tengo ni idea de cómo mostrarlo. En particular, asumo que necesito usar la dimensión finita de alguna manera, pero no estoy seguro de cómo.

Answer 1

Bajando los comentarios de @user251257.

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Sugerencia: Sin pérdida de generalidad, suponga que $A_n$ es una matriz y $A = 0$ . De (WC) se deduce que para cualquier $\epsilon > 0$ cada componente de $A_n$ está eventualmente limitada por $\epsilon$ . Es decir, $A_n$ converge puntualmente a $0$ . Ahora, dos normas cualesquiera sobre un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes . Así, obtenemos (UC).