determinar si esta operación es binaria

Question

Definir la operación $*$ en el plató $M_2(\mathbb{Z})$ como: $A*B = AB+aBA$ . Determine $a \in \mathbb{R}$ tal que $*$ es binario.

Mi intento:

\begin{bmatrix} z_1w_1+z_2w_3+aw_1z_1+aw_2z_3 & z_1w_2+z_2w_4+aw_1z_2+aw_2z_4 \\ z_3w_1+z_4w_3+aw_3z_1+aw_3z_3 & aw_3z_2+aw_4z_4+z_3w_2+z_4w_4 \end{bmatrix} Es simplemente la matriz resultante escrita por sus componentes. Tomando la traza se obtiene $$z_1w_1+z_2w_3+aw_1z_1+aw_2z_3+aw_3z_2+aw_4z_4+z_3w_2+z_4w_4 = k$$ Para todos los enteros $z_1,...,z_4$ y $w_1,...,w_4$ y algún número entero $k$ . Si la suma de los términos se multiplica por $a$ no es igual a $0$ se deduce que $a=-k$ . Enchufar $a=-k$ obtenemos $\frac{-k}{k+1}=-k$ . De ello se desprende que $k=0$ y por lo tanto $a = 0$ . Mis preguntas:

1) ¿Qué ocurre cuando la suma de los términos se multiplica por $a$ no es $=0$ ? ¿Existen soluciones adicionales, hay alguna contradicción, etc.?

2) Con este enfoque, ¿son todos $a$ ¿contabilizado? ¿Por qué?

3) ¿Hay una forma más rápida de hacerlo?

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Si $a\in\Bbb Z,$ entonces es claramente una operación binaria, ya que la suma y la multiplicación de matrices son operaciones binarias en $M_2(\Bbb Z).$ Explícitamente, si $A,B\in M_2(\Bbb Z),$ entonces $AB,BA\in M_2(\Bbb Z).$ Además, si $a\in\Bbb Z,$ y $M\in M_2(\Bbb Z),$ entonces $$aM = \begin{pmatrix}a & 0\\0 & a\end{pmatrix} M\in M_2(\Bbb Z).$$ Toma $M = BA$ para ver que $aBA\in M_2(\Bbb Z)$ también. Por último, la suma de dos matrices cualesquiera en $M_2(\Bbb Z)$ produce otra matriz en $M_2(\Bbb Z).$

Por otro lado, supongamos que $a\in\Bbb R\setminus\Bbb Z,$ y tomar $A = B = I.$ Entonces tenemos $$I*_a I = I^2 + aI^2 = I + aI = \begin{pmatrix}1 + a & 0\\ 0 & 1 + a.\end{pmatrix},$$ y $1 + a\in\Bbb Z$ si y sólo si $a\in\Bbb Z.$

Así, $A*_a B$ es una operación binaria sobre $M_2(\Bbb Z)$ si y sólo si $a\in\Bbb Z.$ (Recuerda que una operación binaria sobre un conjunto $X$ no es más que una función $f : X\times X\to X,$ así que mientras $AB + aBA\in M_2(\Bbb Z),$ se obtiene una operación binaria).