Prueba del determinante de la matriz antisimétrica

Question

Estaba trabajando en una prueba de que el determinante de una antisimétrica ( $n\times n$ )-matriz es cero si $n$ es impar.

$U_{ij} = (-1)^{i+j}A_{ij}$ complemento algebraico de $a_{ij}$ , $A_{ij}$ es el subdeterminante $$\det B = \sum_j b_{ij}U_{ij} = \sum_j-b_{ji}U_{ji}=-\sum_j b_{ij}^TU_{ij}^T=-\det B^T$$

Pero esto significaría $\det B = -\det B$ para todos $n$ así que $\det B$ sería cero para todos los $n$ lo cual es falso.

Sé cuál es la prueba correcta para $n$ impar pero no entiendo cual es el error en mi prueba original. ¿Podría alguien indicarme mi error?

Answer 1

$\sum_j b_{ij}U_{ij} = \sum_j-b_{ji}U_{ji}$ es problemático porque sabes $b_{ij}=-b_{ji}$ pero no sabes la relación entre $U_{ij}$ y $U_{ji}$ . Por ejemplo, tome $\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}$ En este ejemplo, siempre se tiene $U_{ij}=-U_{ji}$ así que $\sum_j b_{ij}U_{ij} = \sum_jb_{ji}U_{ji}$ .