Desde http://www.sparknotes.com/testprep/books/sat2/math2c/chapter9section9.rhtml En la página web de la Universidad de Barcelona he visto que se puede aplicar la ley de los senos para resolver las medidas de todos los valores variables de un triángulo no rectángulo cuando se conocen 2 ángulos y la longitud de un lado. Sin embargo, la página web sólo daba un ejemplo de aplicación cuando se conocen 2 lados y la longitud de un ángulo. En este caso, como conozco 2 ángulos, y ambos son números reales que no contienen variables, puedo encontrar el tercer ángulo. Dada esta información, ¿cómo podría aplicar la ley de los senos como se ve en http://www.sparknotes.com/testprep/books/sat2/math2c/chapter9section9.rhtml ?
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Alan Storm
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La ley de los senos dice que $\frac{\sin \alpha}{a}$ es siempre el mismo para cualquier ángulo $\alpha$ y la longitud del lado opuesto, $a$ . Has dicho que conoces los tres ángulos y un lado. Llama al lado que conoces $b$ y que $\beta$ sea el ángulo de enfrente. Entonces para cualquier otro lado $c$ y el ángulo $\gamma$ frente a ella (que también conoces), sabes que $$ \frac{\sin \beta}{b}=\frac{\sin \gamma}{c}. $$ Resolver para $c$ .
Utilicemos la convención común de que $\alpha$ , $\beta$ y $\gamma$ denotan las medidas de los ángulos en los vértices $A$ , $B$ y $C$ respectivamente, mientras que $a$ , $b$ y $c$ denotan las medidas de los lados opuestos a $A$ , $B$ y $C$ respectivamente. Entonces la ley de los senos es $$ \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma} $$ Supongamos que sabemos $\alpha$ , $\beta$ y $c$ (conocer dos ángulos significa conocer los tres, por lo que podemos utilizar los adyacentes a $c$ ).
Entonces $$ \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{c}{\sin(\pi-\alpha-\beta)} $$ o $$ a=\frac{c\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)} $$ y, del mismo modo, $$ b=\frac{c\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}. $$
