La convergencia de la secuencia: $f(n+1) = f(n) + \frac{f(n)^2}{n(n+1)}$

Question

Estoy intentando resolver un problema en algunos de los antiguos análisis qual examen, y logró reducir a esta pregunta, pero me parece que no puede entender este paso final:

Considere la secuencia definida por la relación de recurrencia $$f(n+1) = f(n) + \frac{f(n)^2}{n(n+1)}$$ with initial condition $f(1) = 1$. ¿Esta secuencia convergen o divergen?

Answer 1

La sucesión es monótona(dada en el comentario por user190080), vamos a $g(n)=5-\frac{25}{n}$, $f(18)<g(18)$ y si $f(n)<g(n)$, $f(n+1)<f(n)+\frac{25}{n(n+1)}<5-\frac{25}{n}+\frac{25}{n(n+1)}=5-\frac{25}{n+1}=g(n+1)$, por inducción $f(n)$ está acotada arriba por 5 por lo tanto converge. Sin embargo sugiero tratar de encontrar una mejor cota superior de a $g(n)$ similar propósito, por lo que no necesita calcular el 18 de términos.

Answer 2

Sabemos que $\{ f(k) \}_{k=1}^{\infty}$ es monótona creciente. Esto significa que la secuencia sea diverge a $+\infty$ o converge. Con el fin de determinar qué opción es el caso, podemos hacer el siguiente truco: Primero escribimos

$$ f(k+1) - f(k) = \frac{f(k)^2}{k(k+1)} \leq \frac{f(k)f(k+1)}{k(k+1)}. $$

Dividir ambos lados por $f(k)f(k+1)$ y la escritura $g(k) = 1/f(k)$, tenemos

$$ g(k) - g(k+1) \leq \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}. \tag{1}$$

Esta es la clave de la desigualdad de nuestro argumento. Por un lado, lo que se suma esta para $k = 1, \cdots, n-1$, obtenemos

$$ 1 - g(n) \leq 1 - \frac{1}{n} \quad \Longrightarrow \quad \frac{1}{n} \leq g(n). $$

Por otro lado, sumando $\text{(1)}$ $k = n, n+1, \cdots$ y denotando $g(\infty) = \lim g(n)$, tenemos

$$ g(n) - g(\infty) \leq \frac{1}{n} \quad \Longrightarrow \quad g(n) \leq g(\infty) + \frac{1}{n}. $$

Al $g(\infty) = 0$, estas dos desigualdades se satura, por lo tanto obtenemos $g(n) = 1/n$$f(n) = n$. Pero esto es absurdo, ya que esto no satisface nuestra relación de recurrencia. Por lo tanto, $g(\infty) > 0$ y

$$ \lim_{n\to\infty} f(n) = \frac{1}{g(\infty)} < \infty. $$

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Adenda. Podemos demostrar el siguiente afirmación:

La reclamación. Existe $R > 0$ de manera tal que la secuencia de $\{f(n)\}$ diverge si $f(1) \geq R$. También tenemos $R \approx 1.61473$.

Consideremos más general de la situación: para cualquier $z \in \Bbb{C}%$, definir $a_n = a_n(z)$ por

$$ a_1 = z, \qquad a_{n+1} = a_n + \frac{a_n^2}{n(n+1)}. \tag{2} $$

Si definimos $R$ por

$$ R := \sup \{ r > 0 : \lim_{n\to\infty} a_n (r) < \infty \} \in [0, +\infty], $$

entonces sabemos que el $R \geq 1$ por la prueba anterior. También es fácil demostrar que $a_n (z)$ converge a una analítica de la función $a_{\infty}(z)$ sobre el disco de $|z| < R$ que tiene la singularidad en $z = R$. En particular, $a_n(r)$ diverge si $r \geq R$. Ahora la diferenciación de la relación de recurrencia (2) y recorrer el infinito, obtenemos

$$ a_{\infty}' = \prod_{k=1}^{\infty} \left( 1 + \frac{2a_k}{k(k+1)} \right). \tag{3} $$

Ahora si $0 < r < R$, entonces la técnica anterior muestra que

$$ a_k \geq \frac{k a_{\infty}(r)}{k + a_{\infty}(r)} $$

Conectando de a (2) y la escritura $w = a_{\infty}(r)$ por razones de brevedad, nos han

$$ \frac{dw}{dr} \geq \prod_{k=1}^{\infty} \left( 1 + \frac{2w}{(k+1)(k+w)} \right) $$

Mediante la separación de las variables de la técnica, esto le da un límite de $R$ como sigue:

$$ R \leq \int_{0}^{\infty} \prod_{k=1}^{\infty} \frac{k^2 + (w+1)k + w}{k^2 + (w+1)k + 3w} \, dw \approx 1.61473. $$