¿Es el grupo de puntos de un grupo discreto también discreto?

Question

Toda isometría $g$ del plano euclidiano $\mathbb{E}^2$ se escribe de forma única como una rotación $\rho_\theta$ por ángulo $\theta (g)$ sobre el origen seguido de una traducción $t_v$ por un vector $v (g) \in \mathbb R^2$ . Para un grupo $G$ de isometrías de $\mathbb{E}^2$ definir su grupo de puntos $\overline G = \{\rho_{\theta (g)} | g \in G\}$ .

En el Álgebra de Artin (segunda edición, sección 6.5, "Grupos discretos de isometrías") creo que se asume implícitamente que para un grupo discreto $G$ su grupo de puntos $\overline G$ también es discreto. ¿Puede alguien proporcionar una prueba de esto?

Para estar seguro, mi definición de discreto es esta: El conjunto de isometrías es igual a $\mathbb R^2 \times S^1$ (como set ) y así se da la topología que surge como este producto. $G$ es un grupo discreto si es discreto en la topología del subespacio. En otras palabras, existe un $\varepsilon > 0$ de manera que siempre que $g \in G$ es un elemento no trivial, tenemos $\lVert v (g) \rVert^2 + \lvert \theta (g) \rvert^2 \ge \varepsilon$ .

Answer 1

Escribiré una respuesta que haga uso de un teorema general de la teoría de grupos:

Para cualquier grupo $G$ y cualquier subgrupo normal $N < G$ con el cociente $G/N = Q$ existe un homomorfismo natural $Q \mapsto \text{Out}(N)$ se define de la siguiente manera: se elige un elemento de $Q$ Elige un representante $g \in G$ , dejemos que $i_g : G \to G$ sea el automorfismo interno $h \mapsto g^{-1}hg$ y restringir $i_g$ a $N$ para obtener un automorfismo de $N$

La clave de este teorema es la definición: si se sustituye $g$ por otro elemento de su coset módulo $N$ entonces eso cambiará el automorfismo restringido de $N$ pero lo hará no cambiar la clase de automorfismo exterior de esa restricción.

Así, permítanme denotar el subgrupo de traslación de $G$ como $T < G$ que es un grupo discreto porque $G$ es discreto. $T$ es un subgrupo normal de $G$ y es el núcleo del homomorfismo cociente $G \mapsto \overline{G}$ por lo que se aplica el teorema anterior y obtenemos un homomorfismo $$\mathcal{A} : \overline G \mapsto \text{Out}(T) \approx \text{Aut}(T)$$ La última ecuación se deduce porque $T$ es abeliana.

Así que ahora dada una rotación $\rho \in \overline G$ con imagen $\mathcal{A}\rho \in \text{Aut}(T)$ y dada una traducción $\tau \in T$ Consideremos la traducción $\mathcal{A}\rho(\tau)$ . Representemos $\tau$ por su vector de traslación $v_\tau = \tau(0) - 0$ Así que $\tau(x) = v_\tau + x$ . Si rastrea las definiciones, descubrirá que $$v_{\mathcal{A}(\rho)(\tau)} = \rho(v_\tau)$$ Así que si arreglamos una $\tau \in T$ y su vector de traslación $v_\tau$ se deduce que todo vector del conjunto $$\{\mathcal{A}\rho(v_\tau) \mid \rho \in \overline G\} = \{\rho(v_\tau) \mid \rho \in \overline G\}$$ tiene la misma longitud. Pero como $T$ es discreto, este conjunto de vectores debe ser finito.

Esto es suficiente, con un poco más de argumento, para poder concluir que $\overline G$ es finito (por tanto, discreto).