Es un hecho bien conocido que una forma bilineal simétrica $g$ en un espacio vectorial de dimensión finita $V$ sobre un campo $F$ de la característica $0$ admite una base ortogonal $\{e_i\}$ es decir $\{e_i\}$ es una base de $V$ y $g(e_i,e_j)=0$ para i!=j.
¿Sucede lo mismo en un espacio vectorial de dimensión infinita? No se me ocurre ningún contraejemplo.
Aquí, $g$ no es necesariamente no degenerado.
(Un poco largo para un comentario.) Por el comentario de Henry, supongo que por "base" se refiere a la base de Hamel.
Considere el espacio $l_2$ . Sea $V$ sea el subespacio abarcado por los vectores unitarios canónicos $e_n$ junto con un vector adicional (como $u=(1, 1/2, 1/3, 1/4, \dots)$ . Entonces, ¿podemos demostrar que no hay ningún conjunto ortonormal que sea una base de Hamel para él? Aunque $\{e_1, e_2, \dots\}$ no abarca $V$ y no hay manera de ampliarlo a un conjunto ortonormal, ese no es el final de la historia. Tomemos la secuencia en el orden $u, e_1, e_2, \dots$ y aplicar el proceso de Gram-Schmidt. Se obtiene entonces una base ortonormal de Hamel para $V$ .
Esto debería funcionar en el caso de la definición positiva $g$ y la dimensión de Hamel $\aleph_0$ . Así que hay dos cosas más interesantes que considerar. (1) dimensión Hamel incontable, pero dimensión ortogonal contable. (2) dimensión indefinida $g$ .
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¿Cuál es la cuestión aquí, en relación con el axioma de la elección?
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En la teoría de los espacios de Hilbert, una base ortonormal de un espacio de Hilbert no es una base en el sentido del álgebra lineal.
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Nota: $g$ podría ser degenerada, es decir $g(x,x)$ a veces puede ser negativo. Además, dice "base", y no sabemos qué quiere decir con eso en el caso de dimensión infinita. Por lo tanto, Mike tiene razón en algunos casos: en el caso de una definida positiva $g$ y un espacio separable: se toma un conjunto denso contable y se aplica el proceso de Gram-Schmidt para obtener un conjunto ortonormal cuya extensión sea densa.
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@GEdgar He borrado mi comentario, ya que no había leído la pregunta con suficiente claridad (a) aviso $g$ no era necesariamente un producto interno b) nótese el axioma de la etiqueta de elección, que hace posible que un espacio de Hilbert no tenga una base de Schauder ortonormal). Perdón.
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@Mike: La etiqueta axioma de elección está pensada para preguntas sobre el axioma de elección. No preguntas cuya respuesta utiliza el axioma de elección. Si ese fuera el caso, habría tenido muchas más de ~650 preguntas. Y la teoría de conjuntos también habría tenido etiquetas mucho más grandes.