Dominio de la composición de funciones

Question

Si $f(x) = x^2$ y $g(x) = \sqrt{x-1}$ , encontrar $f(g(x))$ y especificar el dominio.

Mi solución

$$ f(g(x)) = \left(\sqrt{x-1}\right)^2 = x-1, $$ Dominio: $x$ tal que $x$ es cualquier número real.

La solución en la parte posterior del libro dice que el dominio es, $x$ tal que $x \ge 1$ .

Ahora entiendo por qué ese es el dominio para $g(x)$ para cualquier número menor que 1 haría $g(x)$ negativo y la raíz cuadrada de un número negativo es un número imaginario.

Pero, ese no es el caso de $f(g(x))$ . Cuando es $(\sqrt{x-1})^2$ ¿No es un número real? ¿No es válida cualquier entrada?

Answer 1

Creo que hay que diferenciar entre $$ f(g(x)) = \left(\sqrt{x-1}\right)^2 $$ y $h(x) = x-1$ . Para $h(x)$ , efectivamente el dominio son todos reales, pero $f(g(x))$ se define para que sólo tome el salida de $g(x)$ , por lo que hay que pasar por $g(x)$ primero, lo que hace que el dominio sea $x \ge 1$ .

Answer 2

Otra forma de plantear la respuesta, que ya se ha dado, es que es no siempre el caso de que $\left(\sqrt{x-1}\right)^2=x-1$ ¡! Esta ecuación se cumple si y sólo si $x\ge 1$ . Si $x=0$ por ejemplo, entonces la mano izquierda es indefinida mientras que la derecha es $-1$ . Así que es incorrecto simplificar este compuesto a $x-1$ sin restringir explícitamente el dominio.