¿Por qué es $x\log(x)$ ¿convexo?

Question

¿Por qué es $x\log(x)$ ¿convexo?

Según la definición debe mantenerse:

$(tx+(1-t)y)\log(tx+(1-t)y)\le tx\log(x)+(1-t)y\log(y)$

para todos los positivos $x,y$ y $t\in[0,1]$

edit: Se permite derivar, pero tengo que demostrar usando la definición.

Answer 1

Desde $f(x)=x \log x$ es $C^2$ se puede derivar dos veces, y ver que $$f''(x)=\frac{1}{x}>0. $$

Answer 2

Dado su nombre, deberías saber que una función es convexa si su segunda derivada es positiva...