Independencia lineal de las columnas y cobertura de todo el espacio (fundamento algebraico)

Question

Sería genial si alguien pudiera explicarme lo siguiente. Si entiendo el conferencia correctamente, dado un sistema de, digamos, las siguientes ecuaciones:

$x+2y-2z=1$
$2x+4y+z=3$
$4x+8y+4z=10$

Podemos decir que no describen todo el espacio 3D porque los vectores formados por la primera y segunda columnas ( $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} $ y $\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix} $ respectivamente) no son linealmente independientes (lo que significa que no podemos resolver las ecuaciones dadas para todos los posibles RHS). Por lo que entiendo, tiene sentido geométrico: si empezamos en un punto arbitrario en 3D, sólo podemos abarcar un plano ya que sólo tenemos dos direcciones en las que podríamos movernos. Sin embargo, ¿podría alguien explicar el significado de la afirmación anterior en términos algebraicos? ¿Qué pasa con los coeficientes de una variable dada que cuando se pueden expresar mediante la multiplicación de algún $c$ (donde $c=2$ para las dos columnas mencionadas) por los coeficientes de algunos otros variable, no todos los valores de la RHS generan soluciones? Muchas gracias.

Answer 1

Parece que quieres alguna explicación que no implique vectores, subespacios abarcados por columnas, etc. Tengo que decir que, en mi opinión personal, los vectores, subespacios, vanos, etc. son la mejor manera de pensar en ello, pero déjame intentarlo.

Suponga que tiene un $3\times 3$ sistema lineal en $x$ , $y$ y $c$ , $$\begin{array}{rcccccl} a_1x & + & b_1y & + & c_1z & = & r_1\\ a_2x & + & b_2y & + & c_2z & = & r_2\\ a_3x & + & b_3y & + & c_3z & = & r_3 \end{array}$$ y que hay una constante $k$ tal que $b_1=ka_1$ , $b_2=ka_2$ y $b_3=kc_3$ . Por qué esto significa que el sistema no tendrá necesariamente soluciones para cualquier $r_1$ , $r_2$ y $r_3$ ?

Establecer $w=x+ky$ . Entonces podemos reescribir $a_ix + b_iy = a_ix + ka_iy = a_i(x+ky) = a_iw$ . Así que podemos reescribir el sistema como un sistema de tres ecuaciones en dos desconocidos: $$\begin{array}{rcccl} a_1w & + & c_1z & = & r_1\\ a_2w & + & c_2z & = & r_2\\ a_3w & + & c_3z & = & r_3 \end{array}$$ Se trata de un sistema sobredeterminado (más ecuaciones que incógnitas), por lo que sabemos que hay formas de hacer que el lado derecho sea inconsistente y que el sistema no tenga soluciones. Así que no es el caso de que el sistema tenga soluciones para todas las opciones posibles de $r_1$ , $r_2$ y $r_3$ .

Nótese que una solución del sistema original da una solución a este sistema simplemente dejando que $w=x+ky$ . ¿Corresponde una solución de este sistema a una solución del sistema original? Sí. Supongamos que $w=a$ , $z=c$ es una solución. Establecer $x=a$ y $y=0$ para obtener una solución al sistema original (de hecho, se puede dejar $x=u$ y $y = (a-u)/k$ si $k\neq 0$ y obtener una solución, para cualquier $u$ ; si $k=0$ , entonces usted toma $x=a$ y $y$ arbitrario). Así que las soluciones de este sistema son equivalentes a las soluciones del sistema original.

Lo mismo ocurre si lo que se tiene es que existe un $k$ y $\ell$ tal que $a_i = kb_i+\ell c_i$ (otra forma de que las columnas sean linealmente independientes). Entonces podemos reescribir $$a_ix + b_iy + c_iz = b_i(kx+y) + c_i(\ell x + z)$$ por lo que dejar $w_1 = kx+y$ y $w_2=\ell x+z$ se vuelve a tener un sistema sobredeterminado. Y de nuevo, las soluciones de este sistema corresponden a las soluciones del original, en el sentido de que el original tiene solución si y sólo si éste tiene solución.

Answer 2

Si entiendes lo que significa en términos geométricos, entonces tienes la mayor parte del camino recorrido. Intentaré explicar un poco más el álgebra implicada.

La ecuación puede reescribirse como $xv_1+yv_2+zv_3=b$ , donde $v_1$ , $v_2$ y $v_3$ son los vectores columna. La cuestión es, basándose en la relación entre las columnas, qué vectores $b$ se puede introducir para que la ecuación tenga una solución. Como hay una relación lineal entre las columnas, la respuesta, como has dicho, es que no todas las opciones de $b$ funcionará. Usted tiene $v_2=2v_1$ por lo que la ecuación también puede escribirse como $(x+2y)v_1+zv_3=b$ . Así, $b$ debe estar en el $2$ -subespacio dimensional abarcado por $v_1$ y $v_3$ , su primera y tercera columna.

Más generalmente, si existe alguna relación lineal no trivial entre las columnas de la forma $a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3=0$ , donde $a_1$ , $a_2$ y $a_3$ son escalares y al menos uno es distinto de cero, entonces puedes escribir uno de tus vectores como una combinación lineal de los otros $2$ y, por lo tanto, cualquier vector en el tramo (posibles "lados derechos" en su pregunta) tendrá que estar en el tramo de estos $2$ . La misma idea se generaliza a todas las dimensiones (finitas). Si el conjunto de vectores columna no es linealmente independiente, entonces el tramo de las columnas tiene menor dimensión.

Si quiere ver explícitamente qué opciones de $b$ no funcionará en su ejemplo, puede escribir lo que el lapso de $v_1$ y $v_3$ y elegir los vectores que no estén en este tramo. Para un ejemplo rápido en este caso, podrías elegir el producto cruzado $v_1\times v_3$ ya que es ortogonal a ambos $v_1$ y $v_3$ .

Otra forma de ver esto es que si las columnas no son linealmente independientes, entonces tampoco lo son las filas, y una relación lineal entre los vectores de las filas se traduce en una relación lineal entre las entradas del lado derecho. Es decir, si $A$ tiene vectores de fila $r_1$ , $r_2$ y $r_3$ entonces $A\mathbf{x}= \begin{bmatrix} r_1\cdot\mathbf{x}\\ r_2\cdot\mathbf{x}\\ r_3\cdot\mathbf{x} \end{bmatrix} $ y si hay escalares $a_1$ , $a_2$ y $a_3$ , no todo cero, tal que $a_1r_1+a_2r_2+a_3r_3=0$ entonces se deduce de la linealidad del producto punto en cada variable que $a_1(r_1\cdot\mathbf{x})+a_2(r_2\cdot\mathbf{x})+a_3(r_3\cdot\mathbf{x})=0$ . Es decir, el lado derecho debe estar en el plano descrito por la ecuación $a_1x+a_2y+a_3z=0$ .

Answer 3

Parece que cualquier forma algebraica que se intente ver es, tras pensarlo un poco, realmente una paráfrasis de la geométrica. Una forma de responder a tu pregunta es que para generar todos los valores del RHS, debemos tener una variación suficiente de las variables. Sin embargo, dado que una de las variables en este caso tiene coeficientes que son múltiplos de otra, al variar para intentar cambiar el RHS realmente sólo está haciendo el trabajo de la otra variable, por lo que no hay suficiente variación para dar lo que quieres en el RHS.

Answer 4

Con $\rm\ c_i = i$ columna, el sistema es $\rm\ c_1\ x + c_2\ y + c_3\ z\ =\ d\:.\:$ Esto tiene solución si $\rm\:d\:$ se encuentra en el espacio que abarcan las columnas. Como dos de las tres columnas son linealmente dependientes, las columnas pueden abarcar como máximo un espacio bidimensional. Por lo tanto, el sistema no se puede resolver para todos los $\rm\:d\:,\:$ es decir, el mapa asociado no es onto.