Problema de cirugía equivariante

Question

Tengo una pregunta sobre la cirugía.

Dejemos que $G= \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}$ y $M$ sea un manifiesto orientado de 3 dimensiones con acción G. Es decir, existe un mapa $f\colon M/G \to BG$ , donde $BG$ es un espacio clasificatorio.( $BG=K(G,1)=K(\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z},1)).$ Por lo tanto, podemos considerar $(M/G,f)\in \Omega^{SO}_3(K(G,1))$ , donde $\Omega^{SO}_3(X)$ es el grupo de bordismo (orientado en 3 dimensiones) de $X$ . Utilizando la secuencia espectral de Leray-Serre, podemos ver fácilmente que $\Omega^{SO}_3(K(G,1))=H_3(G)=\mathbb{Z}_m$ (Utilizando la fórmula de Kunneth) Por lo tanto, $\exists$ r>0 tal que $r(M/G,f)$ es nulo sobre $G$ . (podemos elegir $r =m$ ) Es decir, existe una 4-manifold $V$ con una acción G tal que $\partial V = M$ y $\partial (V/G) = M/G$ y el mapa inducido $g\colon V/G\to BG$ es una extensión de $f\colon M/G \to BG$ .

$\underline{Question}$ : ¿Puedo hacer una cirugía en $V/G$ para hacer $\pi_1(V/G)=G$ sin perder $G$ acción sobre $V$ ?

Answer 1

Sí. Hay que ampliar el mapa a $BG$ sobre el cobordismo de la cirugía, que es posible.

Primero permítanme añadir que todos sus $G$ -de las acciones parecen ser libres y que el límite de $V$ consistiría en $r$ copias de $M$ .

Ahora para las cirugías: primero toma la suma conectada de V/G con 2 copias de $S^1\times S^2$ (cirugías sobre incrustaciones $S^0\times D^3$ ) y extender el mapa a BG como $S^1\times S^2\to S^1$ y luego a los generadores de $G=\pi_1(BG)$ para hacer $V'/G\to BG$ Conectado a 1. Entonces encuentra $S^1$ 's en $V'/G$ generando el núcleo de $\pi_1$ , se engrosan a incrustaciones de $S^1\times D^2$ (tienen un haz normal trivial) y hacer una cirugía sobre ellos, extendiendo el mapa a $BG$ por nulashomologaciones de sus imágenes en $BG$ .