Estados: Positividad vs. Continuidad

Question

Definición

Definir la positividad en términos de: $$\omega\geq0:\iff\omega(X^*X)\geq0$$ (Así sirve mejor para la construcción del GNS).

Problema

Dada una álgebra C* $1\notin\mathcal{A}$ .

Consideremos un funcional lineal $\omega:\mathcal{A}\to\mathbb{C}$ .

Entonces se tiene la equivalencia: $$\omega\geq0\iff\|\omega\|=\lim\omega(E)$$

Intento

Reduzca el problema a elementos positivos: $$\|Z\|\leq1:\quad|\omega(Z)|\leq|\omega(X_+)|+|\omega(X_-)|+|\omega(Y_+)|+|\omega(Y_-)|$$ Recuerda la estimación de las normas: $$Z=\sum_{\alpha=0\ldots3}i^\alpha Z_\alpha:\quad\|Z_\alpha\|\leq\|Z\|$$

Ahora, cómo establecer un límite: $$A\geq0:\quad\omega(A)\leq\|\omega\|_+<\infty\quad(\|A\|\leq1)$$ (Lo encontré en Bratelli & Robinson. Lamentablemente, no lo entiendo).

Proceder a la desigualdad global de la envolvente: $$|\omega(A)|^2\leftarrow|\omega(AE)|^2\leq\omega(A^*A)\omega(E^2)\leq\|\omega\|_+^2\leq\|\omega\|^2$$ (¡Cuidado con el limessuperior ya que el cuadrado no es operador-monotónico!)

Especialmente uno tiene: $\lim\omega(E)=\sup\omega(E)=\|\omega\|_+=\|\omega\|$

Atención

Mientras tanto, lo tengo. ¡¡Las respuestas siguen siendo bienvenidas de corazón!! :)

Answer 1

Descargo de responsabilidad

Mis excusas; mientras tanto entendí la prueba.

Prueba

Supongamos por contradicción que: $$A_n\geq0:\quad\omega(A_n)\geq n\quad(\|A_n\|\leq1)$$

Consideremos la serie absolutamente convergente: $$S_N:=\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^2}A_n\to S\in\mathcal{A}$$ (¡Recuerda que el cono positivo está cerrado!)

Por positividad se tiene un límite superior: $$S_N\leq S\implies\omega(S_N)\leq S$$

Entonces se deriva una contradicción: $$\infty\leftarrow\sum_n\frac{1}{n}\leq\omega(S_N)\leq\omega(S)$$

(Recuerde que el aumento de los elementos positivos aumenta la norma)