Cómo $\frac{1}{x}$ es integrable si no es una función continua

Question

Si la función no es continua entonces significa que no es diferenciable y eso significaría que no debería ser integrable ya que la diferenciación es el proceso inverso a la integración.

Me refiero a la INTEGRACIÓN INDEFINIDA.

Answer 1

"Si la función no es continua significa que no es diferenciable y eso significaría que no debería ser integrable".

Estás confundido. La función $f(x)=|x|$ no es diferenciable (en todas partes), pero es integrable en cualquier intervalo cerrado.

En su caso, la función $f(x)=\frac{1}{x}$ es integrable en cualquier intervalo cerrado alejado de cero.

De hecho, hay muchas funciones integrables que ni siquiera son continuas.

Answer 2

Cuando los matemáticos hablan de si una función es integrable, no se refieren a la dificultad de calcular esa integral. Cada año, los matemáticos encuentran nuevas formas de integrar clases de funciones. Sin embargo, este hecho no significa que las funciones antes no integrables sean ahora integrables.

Cuando los matemáticos dicen que una función es integrable, sólo quieren decir que la integral está bien definida, es decir, que la integral tiene sentido matemático.

En la práctica, la integrabilidad depende de la continuidad: si una función es continua en un intervalo dado, es integrable en ese intervalo. Además, si una función sólo tiene un número finito de algunos tipos de discontinuidades en un intervalo, también es integrable en ese intervalo.

Muchas funciones, como las que tienen discontinuidades, giros bruscos y pendientes verticales, son no diferenciables. Las funciones discontinuas también son no diferenciables. Sin embargo, las funciones con giros bruscos y pendientes verticales son integrables.

Por ejemplo, la función $y = |x|$ contiene una punta afilada en $x = 0$ por lo que la función es no diferenciable en este punto. Sin embargo, la misma función es integrable para todos los valores de $x$ . Este es sólo uno de los infinitos ejemplos de una función integrable pero no diferenciable en todo el conjunto de números reales.

Así que, sorprendentemente, el conjunto de funciones diferenciables es en realidad un subconjunto del conjunto de funciones integrables.