¿Cómo puedo resolver este problema?
Encontrar el primer dígito de $2^{4242}$ sin usar una calculadora.
Sé cómo encontrar el último dígito con aritmética modular, pero no los puedo usar aquí.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Probablemente esta no sea la respuesta que usted está buscando, y wil probablemente sólo será apreciada por la gente de mi edad ...
Todavía me acuerdo de los días de escuela que $\log_{10} 2 = 0,30102999$ (siempre he pensado que es notorio que está tan cerca de $0.30103$) - la gente que fue a la escuela en la década de 1950, probablemente, puede recordar el uso de registros a la base 10 para un montón de tediosos cálculos.
A continuación, puede hacer la multiplicación por 4242 sin una calculadora, y obtener la parte fraccionaria ($=x$, dicen, pero es probable que necesite una calculadora para averiguar el primer dígito de $10^x$, a menos que también haya memorizado $\log 2, \log3, \dots, \log 9$ (¡no puedo!)
Editar:
Con cavar un poco más en los recovecos de mi memoria, solo puedo recordar que $\log 3$ es algo como $0.477$, lo $\log 9 = 2 \log 3 = 0.954$, por lo que se debe hacer es ...
Shabaz
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Si usted ha memorizado que $\log_{10}2\approx 0.30103$ puede multiplicar por $4242$ y tomar la parte fraccionaria como $0.9692$, lo que parece que debería ser mayor que $\log_{10}9$ (y lo es, pero está más cerca de lo que yo hubiera pensado, es $\approx 0.9542$). No sé cómo hacerlo sin tablas de registro.
Simon Nickerson
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Presentando un método alternativo (no hay registros, pero es necesario el conocimiento de que el tiempo de duplicación es de ~ $70$/tasa)
Comenzando con
$$2^{10}=1024$$ que es $$1000 \times 1.024$$ o un aumento del 2,4%.
A continuación, $$70/2.4 \approx 29$$ implica que $$2^{290}\sim 2 \times 10^k$$ para algunos k.
A continuación, $$2^{4242} = {2^{290}}^{14} \times 2^{182}$$
Así, bastaría con calcular el $$2^{16} \approx 1.6 \times 10^l$$ y para conseguir $2^{182}$, la primera nota que $1.024^{29} \approx 2$, $1.024^{18} \approx 1.5$ (puro de la mano saludando con la mano, pero suena lógico) Así que, a partir de que $$2^{182} \approx 6 \times 10^m$$ and thus we can get the fist digit to be close to $1.6 \veces 6 > 9$
