Serie de Fourier para una señal de onda cuadrada

Question

Demuestre que la serie de Fourier para la función de onda cuadrada $$f(t)=\begin{cases}-1 & -\frac{T}{2}\leq t \lt 0, \\ +1 & \ \ \ \ 0 \leq t \lt \frac{T}{2}\end{cases}$$ es $$f(t)=\frac{4}{\pi}\left(\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)+\frac{\sin(\frac{6\pi t}{T})}{3}+\frac{\sin(\frac{10\pi t}{T})}{5}+\cdots\right)$$

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Entiendo que la expansión en serie de Fourier general de la función $f(t)$ viene dada por $$f(t)=\frac{a_0}{2}+ \sum_{r=1}^{r=\infty}\left(a_r\cos\left(\frac{2\pi r t}{T}\right)+b_r\sin\left(\frac{2\pi r t}{T}\right)\right)$$ Pero lo que pasó con el $$\frac{a_0}{2}$$ plazo al comienzo de

$$f(t)=\frac{a_0}{2}+ \sum_{r=1}^{r=\infty}\left(a_r\cos\left(\frac{2\pi r t}{T}\right)+b_r\sin\left(\frac{2\pi r t}{T}\right)\right)$$ para la expansión general de la serie de Fourier?

Por consejo, me han dicho que el término constante se puede encontrar integrando $f(t)$ tal que $$\int_{t=-\frac{T}{2}}^{t=\frac{T}{2}}f(t)\mathrm{d}t= \int_{t=-\frac{T}{2}}^{t=\frac{T}{2}} \left(\frac{a_0}{2}+ \sum_{r=1}^{r=\infty} (a_r\cos\frac{2\pi r t}{T}+b_r\sin\frac{2\pi r t}{T})\right)\mathrm{d}t$$ desde aquí podría alguien mostrarme los pasos a seguir para demostrar que $$\frac{a_0}{2}=0$$

Muchas gracias,

Blaze

Answer 1

Primero, su función considerada en cada uno de los intervalos $[0,T/2[$ y $[-T/2,0[$ por separado, es sólo una función constante. Es el conjunto el que no es constante. Así que, cuando integras, ya que puedes separar tu integración sobre los diferentes intervalos de integración, en ellos, sólo estás integrando una función constante.

Así que, $f$ no desapareció, $f$ es igual a $1$ en el intervalo $[0,T/2[$ .

En segundo lugar, su función también es impar. El término constante se encuentra simplemente integrando la función sobre un intervalo simétrico alrededor del origen.

$$a_0=\frac{2}{T}\int_{t=-\frac{T}{2}}^{t=\frac{T}{2}}f(t)\,\mathrm{d}t=\frac{2}{T}\int_{t=-\frac{T}{2}}^{t=0}f(t)\,\mathrm{d}t+\frac{2}{T}\int_{t=0}^{t=\frac{T}{2}}f(t)\,\mathrm{d}t \\ =\frac{2}{T}\int_{t=-\frac{T}{2}}^{t=0}-1 \, \,\mathrm{d}t+\frac{2}{T}\int_{t=0}^{t=\frac{T}{2}} 1 \, \,\mathrm{d}t = 0 \; .$$

Por lo tanto, la integral es cero.

EDITAR: $$\begin{eqnarray}\int_{t=-\frac{T}{2}}^{t=\frac{T}{2}}f(t)\,\mathrm{d}t & = & \int_{t=-\frac{T}{2}}^{t=\frac{T}{2}} \left(\frac{a_0}{2}+ \sum_{r=1}^{r=\infty} a_r\cos\frac{2\pi r t}{T}+b_r\sin\frac{2\pi r t}{T}\right)\,\mathrm{d}t\\ & = & \int_{t=-\frac{T}{2}}^{t=\frac{T}{2}} \frac{a_0}{2}\,\mathrm{d}t+ \sum_{r=1}^{r=\infty} a_r \int_{t=-\frac{T}{2}}^{t=\frac{T}{2}}\cos\frac{2\pi r t}{T}\,\mathrm{d}t+\sum_{r=1}^{r=\infty}b_r\int_{t=-\frac{T}{2}}^{t=\frac{T}{2}} \sin\frac{2\pi r t}{T}\,\mathrm{d}t \\ & = & \int_{t=-\frac{T}{2}}^{t=\frac{T}{2}} \frac{a_0}{2}\,\mathrm{d}t+ \sum_{r=1}^{r=\infty} a_r \cdot 0+\sum_{r=1}^{r=\infty}b_r\cdot 0 \\ & = & \int_{t=-\frac{T}{2}}^{t=\frac{T}{2}} \frac{a_0}{2}\,\mathrm{d}t \\ & = & \frac{a_0}{2}\cdot T \end{eqnarray}$$