Cuántos números hay que aparecen en al menos una de las secuencias aritméticas $10,16,22,28,\ldots,1000$ y $10,21,32,43,\ldots,1000?$

Question

Cuántos números hay que aparecen en al menos una de las secuencias aritméticas $10, 16, 22, 28, \ldots, 1000$ y la secuencia aritmética $10, 21, 32, 43, \ldots, 1000?$

¿Cómo puedo contar todos los números de las dos secuencias y llevar la cuenta del sobreconteo? ¿Cómo puedo utilizar el trabajo en cascada en este caso?

Answer 1

Hay $\dfrac{1000-10}6+1=166$ números en la primera secuencia

y $\dfrac{1000-10}{11}+1=91$ números en la segunda secuencia.

Hay $\dfrac{1000-10}{66}+1=16$ números en ambas secuencias.

¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 2

Los números de la primera secuencia son $6k+10$ para $0\leq k \leq \frac{1000-10}{6}=165$ . Hay $166$ números en esta secuencia.

Los números de la segunda secuencia son $11k+10$ para $0\leq k \leq \frac{1000-10}{11}=90$ . Hay $91$ números en esta secuencia.

Los números de ambas secuencias son $nk+10$ para $0\leq k \leq \frac{1000-10}{n}$ donde $n=\text{lcm}(6,11)=66$ . Hay $16$ números en ambas secuencias.

Utilizando la inclusión/exclusión tenemos

$$166+91-16=241$$

números que aparecen en al menos una secuencia.