Resolver el intervalo de tiempo durante el cual la altura de una pelota lanzada es de al menos "h" pies

Question

Al tratar las desigualdades me he encontrado con una cierta peculiaridad que de momento no puedo explicar.

El ejemplo: Encuentre el intervalo de tiempo durante el cual la pelota está al menos a 32 pies del suelo.

h = -16t^2 + 16t + 128 // Height of the ball in feet.

-16t^2 + 16t + 128 >= 32
-16t^2 + 16t + 96 >= 0
-16(t^2 - t - 6) >= 0
-16(t+2)(t-3) >= 0 // At this point everything is going as planned.

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// Now I have a choice to make
(-16t - 32)(t - 3) >= 0 // This does not work  OR
(t + 2)(-16t + 48) >= 0 // This does work

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// If I choose option 1, the relational operators are incorrect.
-16t - 32 >= 0      and      t - 3 >= 0
-16t >= 32                   t >= 3
t <= -2

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// If I choose option 2, the relational operators are correct.
t + 2 >= 0          and      -16t + 48 >= 0
t >= -2                      -16t >= -48
                             t <= 3

Ahora, al observar un gráfico, resulta obvio que la pelota está al menos a 32 pies sobre el suelo durante el intervalo [0, 3] (suponiendo que el tiempo no es negativo). Por lo tanto, la opción 2 proporciona las relaciones correctas para t, mientras que la opción 1 invierte las relaciones.

Lo que no entiendo es por qué ocurre esto, ya que la multiplicación es un operador asociativo. Me parece que no debería importar si el -16 se multiplica en el primer factor o en el segundo, y sin embargo lo hace. Me gustaría saber por qué, para poder evitar este problema la próxima vez.

Answer 1

Viene de su línea en la que requiere tanto

$$\begin{align} -16t - 32 &> 0 \\ t - 3 &> 0 \end{align} $$

Como ha visto, esto no es sensato. Pero, en cambio, podría requerir ambos

$$\begin{align} -16t - 32 &< 0 \\ t - 3 &< 0 \end{align} $$

Y esto lleva a la respuesta correcta. Recordemos que la respuesta final es cuando cualquiera de estos dos casos es verdadero.

Answer 2

Absorción de la $-16$ en uno de los términos era innecesario, como veremos más adelante. Pero empecemos por su cálculo real.

Mira la versión que "no funciona", es decir $$(-16t-32)(t-3) \ge 0.$$ He reescrito $\lt$ como $\le$ y $\gt$ como $\ge$ porque "al menos $32$ pies" significa $32$ o más.

La desigualdad mostrada es verdadera si (i) $-16t-32$ y $t-3$ son ambos $\ge 0$ O (ii) $-16t-32$ y $t-3$ son ambos $\le 0$ .

Tenga en cuenta que $-16t-32 \ge 0$ si $-16t \ge 32$ si $t\le -2$ .

La condición $t-3\ge 0$ puede reescribirse como $t\ge 3$ . Por tanto, nuestro análisis del caso (i) muestra que se cumple si $t\le-2$ y $t \ge 3$ . Pero son claramente incompatibles, por lo que el caso (i) no puede sostenerse.

O bien, como ha observado, está implícito en el problema que $t \ge 0$ Así que $t \le -2$ es físicamente irrelevante.

Para el caso (ii), mire primero $-16t-32\le 0$ . Reescribe esto como $-16t \le 32$ y luego $t\ge -2$ . Reescribir la condición $t-3\le 0$ como $t \le 3$ . Por lo tanto, en lo que respecta a la fórmula, todo está bien si $-2\le t\le 3$ . Pero $t \ge 0$ por lo que concluimos que la respuesta es $0 \le t \le 3$ .

Así conseguimos un análisis completo y correcto del "no funciona".

Sin embargo, , empecemos de nuevo desde $-16(t+2)(t-3) \ge 0$ .

Esto equivale a $(t+2)(t-3) \le 0$ .

Esto es cierto si (i) $t +2 \le 0$ y $t-3\ge 0$ O (ii) $t+2\ge 0$ y $t-3 \le 0$ . (Un producto es $\le 0$ si un término es $\le 0$ y el otro es $\ge 0$ .)

El caso (i) es físicamente irrelevante. De todos modos, se produce la incompatibilidad $t \le -2$ y $t \ge 3$ .

El caso (ii) da como resultado $t \ge -2$ y $t \le 3$ . Por razones físicas, esto debería corregirse a $0 \le t \le 3$ .

Answer 3

De su desigualdad -16*t^2+16*t+128>32 hay una pregunta si al menos 32 significa que no solo >32 sino también >=32? entonces reescribe tu ecuación así

-16*t^2+16*t+128>=32

-16*t^2+16*t+96>=0 ahora lo buceamos por -16 y cambiamos > por < por lo que tendremos t^2-t-6<=0 la solución es t1=3 t2=-2 ,pero como los pies no pueden ser negativos la respuesta será [0 3]