Es la expectativa condicional de $2$ ¿un r.v. normal dependiente un r.v. normal?

Question

La pregunta era (ahora hay una respuesta):

Supongamos que $X \sim N(a_1, \sigma_1^2)$ y $Y \sim N(a_2, \sigma_2^2)$ son variables aleatorias normales, posiblemente dependientes. Es $$Z = E( X | Y)$$ ¿una variable aleatoria normal?

¿Qué sé yo? Lo sé, eso $Z$ es normal en el caso, cuando $(X,Y)$ es un vector normal (por ejemplo, si $X$ y $Y$ son independientes). Creo que en el caso general $Z$ no es normal. Un contraejemplo, si existe, puede encontrarse sólo en el caso de que $X, Y$ son normales, pero $(X,Y)$ no es normal. Conozco dos ejemplos, cuando $X, Y$ son normales, pero $(X,Y)$ no es normal. Ambos son inútiles, pero lo escribo aquí:

1. $Y \sim N(0,1)$ , $X = Y$ si $|Y| \le c$ y $X = -Y$ de lo contrario, para alguna constante $c$ . Entonces $Z = E( X | Y) = X$ porque $Y$ es una función de $X$ . Por lo tanto, $Z$ es normal. Desgraciadamente.
2. $Y \sim N(0,1)$ , $\xi \sim Bern(\frac12)$ , $\xi$ y $Y$ son independientes, $X = (2\xi-1) Y$ . Entonces $Z = E( X | Y) = E((2\xi-1) Y|Y) = Y E((2\xi-1)|Y) = Y\cdot 0 = 0 \sim N(0,0).$ Desgraciadamente. Así que necesitamos más ejemplos. La respuesta está abajo.

Answer 1

Supongamos que $p(x)$ - densidad de $N(0,1)$ . Considere el vector $(X,Y)$ con densidad $2p(x)p(y)I_{x\dot y > 0}$ . Este ejemplo está tomado de stats.stackexchange.com/questions/30159/is-it-possible-to-have-a-pair-of-gaussian-random-variables-for-which-the-joint-d

Es fácil ver que $X \sim N(0,1)$ y $Y \sim N(0,1)$ . Como $p(x|y) = 2p(x)I_{x\dot y > 0}$ tenemos $E(X|Y=y) = c I_{y>0} + (-c) I_{y<0}$ donde $c = \int_{0}^{\infty} p(x) dx = E|N(0,1)| > 0$ . Por lo tanto, $Z = E(X|Y) = c \cdot \rm{sgn}(Y)$ . $Z$ es un v.r. discreto Q.e.d.