Estoy tratando de implementar el algoritmo de Lanczos para tridiagonalizar el Hamiltoniano para una cadena de espín 1D de longitud $L$ pero soy incapaz de descifrar de los apuntes de mi profesor (aquí hay un enlace ), cuál es la acción del hamiltoniano sobre un vector aleatorio (o lo que es lo mismo, cuál es el hamiltoniano). Mi problema surge en la Ecuación 20 de estos apuntes. Dicen que el hamiltoniano es $$\frac{1}{2}\bigg(\sum_{i=0}^{L-1}P_{ij}-\frac{L}{2}I\bigg).$$ Sin embargo, esto es realmente confuso para mí ya que si $P_{ij}$ es lo que definió en la Ecuación 18, entonces la matriz resultante es sólo una matriz de 4 por 4 y no $2^L\times 2^L$ como él afirma que debería ser. Si no es el caso que $P_{ij}$ es el mismo que en la Ecuación 18, entonces qué es, y cómo calculo este Hamiltoniano (o al menos) la acción del Hamiltoniano sobre un vector, $v$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
jpkeisala
Puntos
132
Implícitamente cada uno de esos sumandos es $I^{\otimes (i-1)} \otimes P_{ij} \otimes I^{\otimes k}$ para que cada sumando actúe como la identidad en todos los giros menos en dos, así que tal vez $P_{ij}$ es sólo de 4 en 4, pero esta extensión con los operadores de identidad es en realidad $2^L$ por $2^L$ . Puse $k$ aquí sólo para decir el resto es algo así como $L-i$ pero puede que me equivoque en 1 o 2 y no haya comprobado cuáles.
