¿es el pullback de la cohomología de un grupo a la cohomología de un subgrupo surjetivo?

Question

Si $H$ es un subgrupo de $G$ es $i^*(H^*(G)$ ) se proyecta sobre la cohomología de $H$ ? $i$ es la inclusión de $H$ en $G$ .

Answer 1

Voy a interpretar tu pregunta como una pregunta sobre cualquier módulo de coeficiente. Entonces la respuesta es no en general. Por ejemplo, para cualquier $G$ -Módulo $M$ el $0$ -cohomología $H^0(G,M) = M^G$ los invariantes de la acción del grupo. Entonces para $H \subseteq G$ el mapa inducido en $0$ -Los grupos cohomogénicos no son más que la inclusión de invariantes $M^G \subseteq M^H$ ya que cualquier invariante para $G$ será claramente invariable para $H$ . Esto no es en general surjetivo.

Answer 2

No, el mapa $H^1(\mathbb Z)\xrightarrow{i^\ast} H^1(k\mathbb Z)\cong H^1(\mathbb Z)$ es la multiplicación por $k$ . (Estoy asumiendo coeficientes constantes).