Demostrar que existe un mapa lineal

Question

Dejemos que $V$ sea $n$ espacio vectorial dimensional sobre $\mathbb{R}$ .

Prueba

a) si $V_1, V_2$ son subespacios de $V$ tal que $\dim V_1 + \dim V_2 \ge n$ entonces existe tal mapa lineal $T:V \to V$ donde $ker T \subset V_1$ $\ \ $ $im T \subset V_2$

b) Para cada mapa lineal $T:V \to V$ existe el isomorfismo $T_1, T_2:V \to V$ tal que $T=T_1+T_2$

Agradecería cualquier pista ya que no tengo ni idea de cómo abordar estos problemas

Answer 1

Dejemos que $(e_1,\ldots ,e_p)$ una base para $V_1$ y lo completamos sobre una base $(e_1,\ldots,e_n)$ para $V$ y que $(u_1,\ldots ,u_q)$ una base para $V_2$ y lo completamos sobre una base $(u_1,\ldots,u_n)$ para $V$ y observe que $p+q\ge n$ . Sea $1\le p'\le p$ y $1\le q'\le q$ tal que $p'+q'=n$ y definir $T$ por

$$T(e_i)=0,\; 1\le i\le p'$$ y

$$T(e_i)=u_{n-i+1},\; p'+1\le i\le n$$ por lo que vemos que $T$ satisfacen las condiciones deseadas.

Para b) sólo doy una pista como usted pide:) Deje $W$ un espacio suplementario para $\ker T$ : $V=\ker T\oplus W$ y que $(e_1,\ldots,e_n)$ una base y adaptarla a la descomposición anterior. Recordemos que $T:W\to \operatorname{im}(T)$ es un isomorfismo. ¿Puedes llevarlo desde aquí?