Este condensador se compone de dos mitades de cáscara esférica de los conductores de ambos con el radio de $r$. Hay un espacio muy pequeño entre las dos partes para ver que no hay gastos de intercambio entre ellos.
Hasta ahora, sólo sé de la capacidad de una mitad de la cáscara esférica conductor es $r/2k$ y yo no puedo entender cómo el uso de este. ¿Cómo puedo realmente calcular esta capacidad?
Para su referencia, la respuesta a este problema es $2r/k$.
Definición de Capacitancia es:
$$ C = \frac{Q}{\Delta V}$$
Estos son los primeros principios de la que tenemos que trabajar, porque sólo la carga y la tensión son verdaderamente fundamentales cantidades. Cuando se propone un tipo de condensador, que son la postulación de un sistema físico en el que dos superficies o volúmenes, pero las superficies en este caso) son equipotenciales y que tienen algún pariente diferencia de voltaje. El voltaje absoluto es indefinido, que es la razón por la que escribimos el voltaje con un Delta. Todos sabemos que es la diferencia del voltaje y de la geometría. Podemos decir que los cargos se $-\Delta V/2$ $\Delta V/2$ o que son de $0$$\Delta V$. Esta información es suficiente para encontrar la carga almacenada. Eso no quiere decir que sea fácil.
Este mínimo puede reducirse a un 2D problema, donde la carga de la superficie de la densidad se define como una función del ángulo, $\sigma(\theta)$. Sólo necesitamos una función debido a la simetría, y solo nos falta definido de$\theta=0$$\pi/2$. Voy a utilizar la convención de enfrente y la igualdad de tensiones, es decir, la distribución de carga también será opuesta e igual.
La integral que define el voltaje es peludo, como siempre. Los cargos en ambas placas contribuir a que el potencial eléctrico en algún punto. Etiqueta el punto de la propia esfera del ser 1, y la oposición de la esfera 2, y tomar el punto de la propia esfera a la carga positiva.
$$ V(\theta) = \frac{\Delta V}{2} = k \left(\int_0^{\pi/2} \frac{\sigma}{d_1^2} dS_1 - \int_0^{\pi/2} \frac{\sigma}{d_2^2} dS_2 \right) $$
La solución de esto nos daría una ecuación que contiene un determinado $\theta$$\sigma(\theta)$. Usted puede reconocer que como similar a una ecuación diferencial. Que hipotéticamente podría ser resuelto por $\sigma(\theta)$, posiblemente por el álgebra, a pesar de que podría no ser práctico. A partir de allí, sería una verdadera declaración para decir:
$$ Q = 2 \int_0^{\pi/2}\sigma dS$$
El dos es añadida a causa de las dos placas. Esto podría ir en la anterior definición de capacitancia y, a continuación, usted tiene su respuesta. La parte difícil es hacerlo. Puedo empezar a llenar los espacios en blanco aquí. Mientras que nuestra densidad de carga es una buena variable de la función, el mismo no puede ser dicho acerca de la integral. Tenemos que integrar más de dos variables, debido a que la distancia entre los puntos depende tanto de ellos.
$$ dS = R \sin(\theta) d\theta d \varphi$$
Tenemos que utilizar una transformación de coordenadas de cilíndrica a coordenadas rectangulares con el fin de restar vectores. Me quedo con el eje x se encuentra en el centro de ambas esferas.
$$ r_1(x,y,z) = r(\theta,\varphi) = R \left< \left( 1 - \cos{(\theta)} \right) , \sin{(\theta)} \sin{(\varphi)} , \sin{(\theta)} \cos{(\varphi)} \right>$$
$$ r_2(x,y,z) = r(\theta,\varphi) = R \left< -\left( 1 - \cos{(\theta)} \right) , \sin{(\theta)} \sin{(\varphi)} , \sin{(\theta)} \cos{(\varphi)} \right>$$
$$ d_1 = \left| r_1(\theta,0) - r_1(\theta',\varphi) \right| $$
$$ d_2 = \left| r_1(\theta,0) - r_2(\theta',\varphi) \right| $$
Voy a suprimir las dependencias un poco ahora.
$$ d_1^2 = \left( x_1 - x_1' \right)^2 + \left( x_1 - x_1' \right)^2 +\left( x_1 - x_1' \right)^2 $$
$$ d_2^2 = \left( x_1 - x_2 \right)^2 + \left( x_1 - x_2 \right)^2 +\left( x_1 - x_2 \right)^2 $$
Usted debe ser capaz de obtener una forma explícita de este. Yo era capaz de escribir $d_1^2$ $d_2^2$ explícitamente en términos de la forma esférica de las variables. Todavía estás a la izquierda con la difícil tarea de integrar más de $\theta'$$\varphi$. Esto se hace tanto para los integrales.
Incluso si usted hace eso, usted está en ninguna parte cerca de acabado. Le han hecho una ecuación suficiente para resolver por $\sigma(\theta)$, e incluso que la ecuación no se puede enchufar en un solucionador de ecuación diferencial porque es una ecuación integral. Tal vez usted podría hacer un integro-diferencial de la ecuación por ponerlo en términos de $Q$ (aunque no he probado esto). Es todavía válido especificación matemática de la densidad de carga superficial.
Creo que usted puede deshacerse de la $\varphi$ parte integral. Entiendo que sólo aparece en la forma de:
$$ \int \frac{f(\theta)}{g(\theta) + h(\theta) \cos{(\varphi)}} d\theta d\varphi$$
y
$$ \int \frac{f(\theta)}{g(\theta) + h(\theta) \cos{(\varphi)}^2} d\theta d\varphi $$
Que puede ser evaluada de manera que se convierte en explícito en términos de $\varphi$. Que no es poco, así que no voy a escribir. Pero haciendo esto te lleva a una expresión para integrar en términos de $\theta$ solo. Con el álgebra o técnicas iterativas, que puede ser utilizado para encontrar la densidad de carga para cada $\theta$, que sí se puede integrar para obtener la carga, que puede ser utilizado para obtener la capacitancia.
EDITADO RESPUESTA:
Esto es lo que pienso, podría ser una forma para resolver el problema.
Podemos considerar cada hemisferio se compone de una serie de anillos. Cada anillo tiene un 'espejo' de la imagen en el otro hemisferio, lo que es un condensador de dos anillos en forma de placas. Desde todo el hemisferio es uno de los posibles, los condensadores están conectados en paralelo, y se puede encontrar la capacitancia equivalente del sistema por simple adición.
En combinación paralela: $C_{eq} = \sum C$
Sabemos que la capacitancia de un condensador es: $$C = \frac{\epsilon_oA}{d}$$
Por lo tanto, la capacitancia de un anillo con infinitesimal de área sería: $$dC = \frac{\epsilon_o.dA}{d} $$
Como se muestra en la figura siguiente, se supone que un anillo en un ángulo de $\theta$ desde el eje x, con el ancho subtiende un ángulo de $d\theta$, en el origen.
El ancho de un anillo sería $rd\theta$, y la radio - como se muestra en la figura - sería $rsin\theta$.
Así tenemos que el área del anillo:
Es igual a la circunferencia ($2\pi R$) multiplicado por el ancho ($rd\theta$). Aquí, $R = rsinθ$ (radio de anillo).
\begin{eqnarray*} \therefore dA &=& 2 \pi (r\sin\theta) . rd\theta\\ &=& 2\pi r^2 \sin\theta d\theta \end{eqnarray*}
Ahora para hallar la distancia entre los anillos en cada hemisferio. Por la geometría, podemos concluir:
La distancia (d) entre los dos anillos:
$$d = 2r(1-\cos\theta)$$
La sustitución de área y distancia en la ecuación, obtenemos:
\begin{eqnarray*} dC &=& \frac{\epsilon_o(2\pi r^2 \sin\theta d\theta)}{2r(1-\cos\theta)}\\ &=& \frac{\epsilon_o \pi r \sin\theta d\theta}{1-\cos\theta} \end{eqnarray*}
Ahora, sólo tenemos que sumar todas las capacidades para encontrar la capacitancia equivalente! Para ello, integramos la capacitancia:
$$\int dC = \int \frac{\epsilon_o \pi r \sin\theta d\theta}{1-\cos\theta}$$
Desde $\epsilon_o \pi r$ es una constante, se lleva a cabo de manera integral, para obtener:
$$\int dC = \epsilon_o \pi r \int \frac{\sin\theta d\theta}{1-\cos\theta}$$
Ahora, la integración de $dC$$C$. La aplicación de los límites de $\theta$ $0$ $\frac{\pi}{2}$ (dado que estos límites nos permitirá cubrir todo el hemisferio), obtenemos:
$$ C = \epsilon_o \pi r \int_0^{\pi /2} \frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}.d\theta$$ $$ C = \epsilon_o \pi r \bigg[ ln(1-\cos\theta) \bigg]_0^{\pi /2} $$
$\big(ln(1-\cos\theta)$ es la integral de la $\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}$, ya que la derivada de $ln(1-\cos\theta)$ nos da $\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}\big)$.
$$\therefore C = \epsilon_o \pi r \bigg[ ln(1-\cos(\pi / 2)) - ln( 1 - \cos(0)) \bigg] $$
$\because \cos(\pi / 2) = 0$ E $\cos(0) = 1$
obtenemos:
$$ C = \epsilon_o \pi r \bigg[ ln(1 - 0) - ln( 1 - 1) \bigg]$$ $$ C = \epsilon_o \pi r \bigg[ ln(1) - ln(0) \bigg]$$
Punto en el que estoy atrapado, porque ln(0) no existe, ya que $\rightarrow (-\infty)$
Pero creo que estoy bastante cerca de la respuesta! Lo único que yo necesito es $\bigg[ ln(1) - ln(0) \bigg]$ para obtener el valor de 8, porque eso me dará la respuesta de $2r/k$!!
Ya, $K = \frac{1}{4\pi \epsilon_o}$
Y es muy posible que el valor de convertir a cerca de 8, ya que el logaritmo natural de un número mayor que cero es negativo, y puede ser cerca de -8. Si es así, vamos a obtener la respuesta 2r/k, pero no sé cómo podemos. Lo siento! :) Espero que me ayudó un poco, aunque!
Para resolver este problema, uno debe darse cuenta de que el 4 de superficies. El exterior y el interior de Un hemisferio, y lo mismo para B.
Dado: C = r/2k. Esta es la capacitancia de un hemisferio entre/debido a que el "afuera" de la superficie y el infinito.
También hay una igualdad de la capacitancia de la superficie interior y el infinito. Desde estos dos condensadores en paralelo, Un hemisferio tiene una capacidad total de (r/2k + r/2k = ) r/k.
Lo mismo se aplica para el hemisferio B, que es un condensador en paralelo con Un hemisferio, por lo que la capacidad total de ambos hemisferios es ( r/k + i/k = ) 2r/k).
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