Mostrar $\sum ^{2^{a+1}}_{k=2^a+1}\frac{1}{k^2}<\frac{1}{2^a}$

Question

Mostrar $$\sum ^{2^{a+1}}_{k=2^a+1}\frac{1}{k^2}<\frac{1}{2^a}$$

Empecé estableciendo el límite inferior como $k = 2^a$ y no sé a dónde ir desde aquí. ¿Hay alguna forma sencilla de demostrar que esto es cierto?

Answer 1

Observe que el mayor término de su suma es $\frac{1}{(2^a+1)^2}$ y hay $2^a$ términos. ¿Puedes terminar?

Answer 2

La telescópica creativa proporciona una forma sencilla de probar un mejor atado: $$\sum_{k=2^a+1}^{2^{a+1}}\frac{1}{k^2}<\sum_{k=2^a+1}^{2^{a+1}}\frac{1}{k(k-1)}=\sum_{k=2^a+1}^{2^{a+1}}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)=\frac{1}{2^a}-\frac{1}{2^{a+1}}=\frac{1}{2^{a+1}}.$$