No entender esta prueba en Tilings and Patterns de Grünbaum-Shephard

Question

Estoy leyendo el libro de Grünbaum y Shephard Tilings y patrones en este momento, y estoy algo perdido en la brevedad de su declaración y prueba de la declaración 10.1.1 (página 524 para quien tenga el libro). Parafraseando:

Si un mosaico monohédrico $\mathcal{T}$ es un $k$ -composición de sí mismo de una manera única entonces $\mathcal{T}$ debe ser no periódica, es decir, no tiene simetría de traslación. (Un mosaico $\mathcal{T}_1$ es un $k$ -composición de $\mathcal{T}_2$ si todas las baldosas de $\mathcal{T}_1$ es una unión de $k$ azulejos en $\mathcal{T}_2$ y $k>1$ es el menor número entero para el que se cumple).

En la breve prueba que dan está la afirmación "Supongamos que existiera tal simetría traslacional $t$ . Entonces la singularidad de la composición implica que $t$ debe ser también una simetría del $k$ -compuesto de azulejos". A continuación, utilizan esto para derivar una contradicción.

Pero no entiendo qué tiene que ver la singularidad de la composición, si $t$ es una simetría de traslación de $\mathcal{T}$ ¿entonces no es automáticamente también una simetría del mosaico compuesto?

Answer 1

La singularidad es muy importante. Como contraejemplo, consideremos el mosaico de la línea real por intervalos unitarios. Este mosaico es un $2$ -composición de sí mismo exactamente de dos maneras diferentes (o bien cada ficha par se pega a la ficha de su derecha, o a la de su izquierda). Traslado a la izquierda por $1$ es una simetría de este mosaico, pero no es una simetría de ninguno de sus $2$ -porque permuta estos dos tilings.