Si $p$ es un primo impar y $P$ es un grupo de orden $p^3$ entonces el $p$ -el mapa de potencia $\varphi:x\mapsto x^p$ es un homomorfismo de $P$ EN $Z(P)$ . (Álgebra abstracta: Dummit & Foote, Sec. 5.4, Ex. 9)
He demostrado que $\varphi$ es efectivamente un homomorfismo. Estoy luchando para encontrar por qué $\varphi(P)\le Z(P)$ . Supongamos que $P$ es no abeliana. Entonces $[P,P]=Z(P)$ que es de orden $p$ . No sé si ayuda. También he utilizado el hecho de que si $x,y\in G$ y ambos $x$ y $y$ viajar con $[x,y]$ entonces para todos los enteros positivos $n$ , $(xy)^n=x^ny^n[y,x]^{\frac{n(n-1)}{2}}$ en mi prueba de que $\varphi$ es un homomorfismo.
Estoy seguro de que los autores quieren decir $\varphi(P)\le Z(P)$ en lugar de $\varphi(P)=Z(P)$ sólo con considerar $P\cong\mathbb Z_p\times\mathbb Z_p\times\mathbb Z_p$ . He intentado encontrar ejemplos que puedan ayudarme. Para $P\cong\mathbb Z_9\rtimes\mathbb Z_3$ , $\varphi(P)=Z(P)$ por lo que el resultado no es sorprendente. Pero no tengo ni idea de cómo proceder. ¿Puede alguien ayudar, por favor?
