Dificultad para calcular la velocidad tras la transformación de Lorentz

Question

Estoy trabajando en la comprensión de las transformaciones de Lorentz a través de un texto de Garrity, "Electricidad y Magnetismo para Matemáticos: A Guided Path from Maxwell's Equations to Yang-Mills". En las páginas 43 y 44 describe cómo calcular la velocidad de una partícula en un segundo marco de referencia, con una transformación entre el primer y el segundo marco de referencia dada por una transformación de Lorentz.

He escrito mi pregunta a continuación y he tomado una foto. Mi dificultad es entender las dependencias de las diferentes variables, y también tomar las derivadas. Por favor, ayúdenme. Gracias.

$\frac{dx_1}{dt_1}$ sería la velocidad observada en el primer marco de coordenadas. $\frac{dx_2}{dt_2}$ sería la velocidad observada en el segundo marco de coordenadas, que es lo que buscamos.

Answer 1

El regla de la cadena para su segunda formulación es para las derivadas parciales ( $x_2$ y $t_2$ siendo funciones de al menos $x_1$ y $t_1$ ) : $$\frac {\partial x_2}{\partial t_2}=\frac {\partial x_2}{\partial t_1}\frac {\partial t_1}{\partial t_2}+\frac {\partial x_2}{\partial x_1}\frac {\partial x_1}{\partial t_2}$$

En cuanto al texto, también se podría utilizar la linealidad de la transformación de Lorentz (matriz $A$ ) para obtener : $$\begin{align} \Delta x_2&=\gamma\,\Delta x_1-\gamma\,v\,\Delta t_1\\ \Delta t_2&=-\,\gamma \frac v{c^2}\Delta x_1+\gamma\,\Delta t_1 \end{align}$$ para que el cociente $\;\dfrac{\left(\dfrac {\Delta x_2}{\Delta t_1}\right)}{\left(\dfrac {\Delta t_2}{\Delta t_1}\right)}$ admitirá el límite : $\;\dfrac {d x_2}{d t_2}=\dfrac {\gamma\, \dfrac{dx_1}{dt_1}-\gamma\,v\, }{-\,\gamma \frac v{c^2}\,\dfrac{d x_1}{d t_1}+\gamma }\;$

Espero que esto aclare las cosas.