Cómo puedo saber si una función dada puede ser representada por una serie de Fourier, que converge al valor de esa función en las no discontinuidades. Además, ¿de dónde sacó Fourier la idea de representar una función periódica de la forma en que lo hizo?
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user123123
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Hay varias condiciones suficientes, dependiendo de lo técnicas que quieras que sean. Evidentemente, se quiere $f$ para ser periódica sin importar qué, lo asumiré a partir de ahora. Teorema de Dirichlet sobre la convergencia de las series de Fourier establece que si tanto $f$ y su derivada son continuas a trozos en $[0,2\pi]$ (o el intervalo en el que sea periódica, siempre se puede reescalar y trasladar una función periódica para obtener una periódica en $[0,2\pi]$ ), entonces la serie de Fourier de $f$ siempre converge a $f(x)$ cuando $f$ es continua en $f$ y a la media de los límites izquierdo y derecho en $x$ de $f$ cuando $f$ es discontinua.
Teorema de Carleson establece que si $f$ es integrable al cuadrado sobre $[0,2\pi]$ Es decir
$$\left(\int_{0}^{2\pi}{|f(x)|^{2}\ dx}\right)^{\frac{1}{2}}<\infty,$$
entonces la serie de Fourier de $f$ en $x$ converge a $f(x)$ para casi todos los $x\in[0,2\pi]$ .
Esta es una pregunta eminentemente natural. Además de las acertadas observaciones de Peter:
Según las fuentes históricas (en su mayoría secundarias) que he leído, Fourier hizo no inicialmente la fórmula del producto interno para los coeficientes, y no tenía ningún argumento realmente matemático a favor de la expresabilidad de las funciones periódicas (y, en aquella época, ¿qué era una "función"?), salvo las analogías de la mecánica y los "sobretonos" en los sistemas vibratorios. Esa heurística, sin embargo, le puso en un camino que parecía muy productivo para (aparentemente) resolver cierta encarnación de la ecuación del calor. Así, la (aparente) utilidad de la idea motivó la posterior legitimación.
En aquella época, no había un sentido claro de "convergencia", excepto (¡no uniforme!) puntual. Ciertamente, no había ninguna " $L^2$ " convergencia. De hecho, los problemas de convergencia puntual de las series de Fourier llevaron a Cantor a crear la teoría de conjuntos.
Incluso con el vocabulario mejorado de los tiempos modernos, existe una tensión considerable entre la convergencia puntual "natural" y, por ejemplo, $L^2$ convergencia, o convergencia en espacios de Levi-Sobolev, o convergencia distributiva. Podría decirse que la $L^2$ teoría funciona con mayor fluidez y, posiblemente, la $L^2$ La teoría de los espacios de Levi-Sobolev ofrece un enfoque más coherente y robusto de la convergencia puntual (¡uniforme!), si es realmente necesaria. Por ejemplo, mientras que, quizás de forma contraintuitiva, la serie de Fourier de un $C^1$ converge de forma demostrable a ella (uniformemente) de forma puntual, lo hace no normalmente convergen a ella en el $C^1$ norma. (Además, la discusión sobre el núcleo de Fejer, al demostrar que las series de Fourier finitas son densas en $C^o$ no promete en absoluto que sean los truncamientos finitos de la serie de Fourier los que converjan a la función). Mientras tanto, las funciones en el ${1\over 2}+\epsilon$ El espacio de Levi-Sobolev tiene series de Fourier que convergen a ellas en esa topología, y (imbricación de Levi-Sobolev thm) son continuas, y la serie de Fourier también converge en la $C^o$ topología, etc.
Es decir, la fijación en la convergencia puntual como algo fundamental puede ser errónea, aunque nos hayan "educado" para pensar que las funciones dan principalmente valores puntuales. :)
JohnD
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Un teorema clásico sobre la convergencia puntual de las series de Fourier dice que si $f(x)$ es suave a trozos en $(-\ell,\ell)$ entonces la serie de Fourier de $f$ converge puntualmente en $(-\ell,\ell)$ . Además, el valor al que converge la serie de Fourier en $x=x_0$ es $${f(x_0^+)+f(x_0^-)\over 2},$$ donde los superíndices denotan los límites unilaterales $$f(x_0^+):=\lim_{x\to x_0^+}f(x)\quad\text{ and }\quad f(x_0^-):=\lim_{x\to x_0^-}f(x).$$
En otras palabras, si $x=x_0$ es un punto de continuidad de $f$ entonces su serie de Fourier converge a $f(x_0)$ allí, pero si $x=x_0$ es un punto de (tipo adecuado de) discontinuidad de $f$ entonces su serie de Fourier converge a la media de los límites izquierdo y derecho de $f$ en $x=x_0$ .
