Utilizar las coordenadas de Hopf para definir el grupo $SU(2)$

Question

Utilizando las coordenadas de Hopf $(\eta , \xi_1 , \xi_2 )$ podemos escribir cualquier elemento de $SU(2)$ en la forma \begin{bmatrix} e^{i \xi_1} \text{sin}(\eta) & e^{i \xi_2} \text{cos}(\eta)\\ -e^{-i \xi_2} \text{cos}(\eta) & e^{-i \xi_1} \text{sin}(\eta) \end{bmatrix} Entonces, dado $SU(2)$ es cerrado, multiplicando dos matrices de este tipo juntas \begin{equation} \begin{bmatrix} e^{i \xi_1} \text{sin}(\eta) & e^{i \xi_2} \text{cos}(\eta)\\ -e^{-i \xi_2} \text{cos}(\eta) & e^{-i \xi_1} \text{sin}(\eta) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} e^{i \rho_1} \text{sin}(\mu) & e^{i \rho_2} \text{cos}(\mu)\\ -e^{-i \rho_2} \text{cos}(\mu) & e^{-i \rho_1} \text{sin}(\mu) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e^{i (\xi_1 + \rho_1)} \text{sin}(\eta) \text{sin}(\mu) - e^{i (\xi_2 - \rho_2)} \text{cos}(\eta) \text{cos}(\mu) & \cdot\\ \cdot & \cdot \end{bmatrix} \end{equation} deberíamos obtener de nuevo una matriz de esta forma. Nótese que sólo he escrito explícitamente el término en el $(1,1)$ posición, ya que esto es todo lo que necesito para mi pregunta.

Así obtenemos que deben existir unas coordenadas $(\nu, \beta_1 , \beta_2)$ , de tal manera que \begin{align} e^{i (\xi_1 + \rho_1)} \text{sin}(\eta) \text{sin}(\mu) - e^{i (\xi_2 - \rho_2)} \text{cos}(\eta) \text{cos}(\mu) = e^{i \beta_1} \text{sin}(\nu), \end{align} (junto con tres ecuaciones similares para las entradas restantes).

No se me ocurre ninguna $(\nu, \beta_1 , \beta_2)$ que satisfaga esta ecuación, ya que no podemos utilizar simplemente las identidades trigonométricas debido a la $e^{ix}$ ponderando cada término de forma diferente (es decir, no tenemos simplemente algo de la forma ' $ \text{sin}(\eta) \text{sin}(\mu) - \text{cos}(\eta) \text{cos}(\mu)$ ')?

(Para más detalles sobre las coordenadas de Hopf, véase la página wiki de "3-esferas" en la sección "Estructura del grupo").

Answer 1

No creo que sea muy útil centrarse sólo en una entrada. Escribiendo, se obtiene que la primera fila de la matriz es

$$\begin{pmatrix} z \\ w\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} e^{i (\xi_1 + \rho_1)} \sin(\eta) \sin(\mu) - e^{i (\xi_2 - \rho_2)} \cos(\eta) \cos(\mu) \\ -e^{-(i (\xi_1 + \rho_2))} \sin(\eta) \cos(\mu) - e^{-i (\xi_2 - \rho_1)} \cos(\eta) \sin(\mu)\end{pmatrix}, $$ de lo que se deduce que \begin{align} |z|^2&= z\overline{z}= \sin^2(\eta)\sin^2(\mu)+\cos^2(\eta)\cos^2(\mu)-2 \cos(\xi_1+\rho_1-\xi_2+\rho_2)\sin(\eta)\sin(\mu)\cos(\eta)\cos(\mu)\\ |w|^2&= \sin^2(\eta)\cos^2(\mu)+\cos^2(\eta)\sin^2(\mu)+2\cos(-(\xi_1+\rho_2-\xi_2+\rho_1))\sin(\eta)\sin(\mu)\cos(\eta)\cos(\mu) \end{align} Ahora bien, como $\cos$ es par, obtenemos que los dos últimos términos se cancelan, y por tanto $$ |z|^2+|w|^2=(\sin^2(\eta)+\cos^2(\eta))\sin^2(\mu)+(\sin^2(\eta)+\cos^2(\eta))\cos^2(\mu)=1, $$ lo que implica que $(z,w)$ tiene la forma $(e^{i\alpha}\sin(\nu),e^{i\beta} \cos(\nu))$ . Para terminar, simplemente hay que comprobar que el $(1,1)$ -es el complejo conjugado del $(2,2)$ -y que el $(1,2)$ -es el complejo conjugado del $(2,1)$ -Se trata de una entrada. Se trata de un cálculo sencillo sobre los argumentos.