Sistema parabólico lineal acoplado de EDP con coeficientes continuos de Holder

Question

Me interesa probar la existencia/unicidad para: encontrar $u(x,t)$ , $v(x,t)$ tal que $$u_t - a_1u_{xx} - a_2u_x - a_3u -a_4v = f$$ $$v_t - a_5u_{xx} - a_6u_x - a_7u - a_8v_{xx} - a_9v_x - a_{10}v = g$$ donde los coeficientes $a_i(x,t)$ están en una versión parabólica del espacio de Holder (digamos $C^{k, \alpha}([0,1]\times[0,t])$ .

¿Existe ya literatura donde se trate esto? Probé con Ladyschenkaja pero allí este tipo de sistema no está presente (creo que en ese libro, requieren $a_1 \equiv a_5$ ). Agradecería que alguien tuviera alguna referencia sobre este problema.

Sin embargo, creo que probablemente puedo aplicar un argumento de punto fijo a esto - de nuevo agradecería que alguien me indicara dónde se discuten estas cosas. Gracias.

Answer 1

Una buena referencia es la obra de Krylov Conferencias sobre ecuaciones elípticas y parabólicas en espacios de Hölder . Por otra parte, si $a_1\not\equiv a_5$ es la única razón por la que está atascado, entonces debería ser posible adaptar los argumentos que tiene para $a_1\equiv a_5$ a $a_1\not\equiv a_5$ utilizando la elipticidad uniforme.

Answer 2

Existe un contraejemplo clásico debido a Plis de un operador diferencial elíptico con coeficientes continuos de Hölder sin unicidad de Cauchy. Esto fue refinado con un contraejemplo en forma de divergencia por Miller en un Arch. Rat. Mech.(vol. 54) para el caso elíptico y parabólico.

La continuidad de Hölder no es suficiente para obtener resultados de unicidad para ecuaciones parabólicas o elípticas.