Encontrar la distribución de un mínimo de un conjunto de variables

Question

He estado trabajando en un problema en el que $X_1,...,X_n \sim \mathrm{Exp}(\beta)$ son i.i.d. y $Y = \min\left\{X_1^{0},X_2^{X_1},X_3^{X_1+X_2},...,X_n^{\sum_{i=1}^{n-1} X_i}\right\}$ . Quiero encontrar el PDF de $Y$ de los cuales estoy algo familiarizado con la forma de generar, dado que $$P\left(Y \leq y\right) = P\left(\bigcup_{i \in [n]} X_i^{\sum_{j=1}^{i-1} X_j} \leq y\right),$$ Pero parece que tengo un problema al tratar de aplicar la condición i.i.d. para que esta probabilidad una suma, ya que los eventos por construcción son dependientes entre sí entre sí. ¿Existe un método matemático razonable para resolver un problema como éste? Como mínimo, ¿hay algún método con el que pueda aproximar esta distribución?

Answer 1

Observaciones:

Usted no dice si $\beta$ es la media o la tasa. El comportamiento parece depender de si la tasa es mayor o menor que 1.

No veo cómo simplificar $Y$ analíticamente, pero parece fácil de simular. Según entiendo el problema, aquí hay una simulación de 100.000 iteraciones en R con $ n = 5$ y la tasa 6.

m = 10^5;  y = numeric(m);  n = 5;  lam = 6
for (i in 1:m) {
   x = rexp(n, lam);  cx = cumsum(c(0,x))[1:n]
   y[i] = min(x^cx) }
mean(y); sd(y)
## 0.2277121
## 0.1779304
hist(y, prob=T, col="skyblue")

... y otro para tasa = 1/6.

mean(y);  sd(y)
## 0.5591536
## 0.4767974