¿Por qué "separable" implica la "condición de cadena contable"?
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DanV
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La razón es que la separabilidad implica que hay un subconjunto contable $D$ que para todo conjunto abierto no vacío $U$ , $D\cap U\neq\varnothing$ .
Si $X$ no tiene CCC entonces hay una familia incontable $\{U_i\mid i\in I\}$ de conjuntos abiertos disjuntos. Cualquier conjunto contable sólo puede intersecar a un número contable de ellos, pero nunca a todos, por lo tanto $X$ no es separable.
Otra posibilidad es argumentar directamente: Si $\mathcal{U}$ es una familia de conjuntos abiertos disjuntos, cada uno de los cuales $U \in \mathcal{U}$ debe contener un punto $d \in D$ por densidad, por lo que hay una suryección desde algún subconjunto de $D$ en $\mathcal{U}$ Por lo tanto $\mathcal U$ es contable.
La otra dirección no es cierta ya que hay espacios CCC que no son separables.
Un ejemplo de un espacio no separable pero con CCC sería una potencia suficientemente alta $\{0,1\}^\kappa$ ( $\kappa \gt \mathfrak{c}$ es suficiente): de hecho, un producto arbitrario $\prod_{i \in I} X_i$ de espacios topológicos es CCC si todos finito productos $\prod_{j \in J} X_j$ con $J \subset I$ , $\# J \lt \infty$ son CCC.
Dejemos que $D$ sea un subconjunto denso de $X$ y que $\{ U_i : i \in I \}$ sea una familia de conjuntos abiertos no vacíos y disjuntos entre sí, indexados por $I$ .
Definir un mapa $f: I \rightarrow D$ al recoger $f(i) \in U_i \cap D$ que se puede hacer como cada $U_i$ es no vacío y abierto y $D$ es denso. Para un contable $D$ podemos elegir la que tenga un índice mínimo en alguna enumeración fija de $D$ para que quede claro.
La función $f$ es 1-1, porque si $i \neq j$ entonces $f(i) \in U_i$ y $f(j) \in U_j$ pero como $U_i \cap U_j = \emptyset$ , $f(i) \neq f(j)$ .
Por lo tanto, tenemos una inyección de $I$ en $D$ y así $|I| \le |D|$ como números cardinales.
Si $X$ es separable podemos fijar algún subconjunto denso contable $D$ y esto demuestra entonces que todas las familias disjuntas de conjuntos abiertos no vacíos son a lo sumo contables, o $X$ es ccc.
