Encontrar la integral con otras integrales dadas

Question

Dado $$\int_0^2 f(x) \,dx= 4,$$ $$\int_0^6 f(x) \,dx= -6$$ encontrar $$\int_2^4 f(x) \,dx$$

¿Cómo podría resolver esto? No me dan $$\int_4^6 f(x) \,dx$$

Answer 1

Primero tienes $\int_0^2 + \int_2^6 = \int_0^6,$ así que $4 + \int_2^6 f(x)\, dx = -6,$ y así $$ \int_2^6 f(x)\,dx = -10. $$ Por lo tanto, $$ \int_2^4 f(x)\,dx + \int_4^6 f(x)\,dx = -10. $$ Ahora supongamos, por ejemplo, que $f(x) = \begin{cases} \phantom{+}21 & \text{if } 2<x<4, \\ -26 & \text{if } 4<x<6. \end{cases} \qquad$ Entonces $$ \int_2^4 f(x) \, dx = 42 \quad \text{and} \quad \int_4^6 f(x)\, dx = -52 \quad \text{and so} \quad \int_2^6 f(x)\,dx=-10. $$ Del mismo modo, puede elegir cualquier dos números cuya suma es $-10$ y hacer de una de ellas la integral de $2$ a $4$ y la otra la integral de $4$ a $6.$ Por lo tanto, no hay suficiente información para decir cuál es la integral de $2$ a $4$ es.

Si tiene alguna información adicional sobre $f$ más allá de lo expuesto en su pregunta, posiblemente se pueda responder a la pregunta tal y como está formulada.