Dado $M^m \subset X^n$ colectores en los que $n-m \geq 2$ y dada una función Morse $f : M \to \mathbb{R}$ siempre puedo ampliar $f$ a una función Morse en todo $X$ ? Además, si $f$ tiene puntos críticos con valores críticos distintos y de índice creciente, ¿puedo extenderlo siempre a todos los $X$ con una función Morse que también tenga estas propiedades?
Respuesta
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Fijar una métrica de paquete $g$ en $\nu(M)$ . Dotaré $\nu_t(M)=\{(x,v) \in \nu(M)|g(v,v) \leq t\}$ . En $\nu_1(M)$ Consideremos la función $F(x,v)= \phi(g(v,v))f(x)+g(v,v)$ donde $\phi:[0,1]\to [0,1]$ es una función de corte suave localmente constante en cero y uno con $\phi(0)=1$ y $\phi(1)=0$ . $F$ es claramente Morse en $\nu_1(M)$ y constante a lo largo de $\partial(\nu_1(M))$ .
Como $X-\nu_1(M)$ es una colector con límite, existe una función de Morse en $X-\nu_1(M)$ que es constante a lo largo de $\partial(X-\nu_1(M))=\partial(\nu_1(M))$ . Extienda esta función a través de $\nu_1(M)$ utilizando $F$ para obtener la función Morse deseada.
