Demostrar que $\int_a^bf(x)dx=0 \implies f= \hat{0}_{|[a,b]}$

Question

Sea f $:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función continua donde $f(x)\geq 0$ para todos $x\in[a,b]$ .

Demostrar que $\int_a^bf(x)dx=0 \implies f= \hat{0}_{|[a,b]}$ .

Mi enfoque a través de la contraposición:

Que sea $c\in (a,b)$ con $f(c)>0$ . Entonces sabemos que debido a la continuidad existe una vecindad $U_{\delta}(c):=\{x\in[a,b]\mid |x-c|<\delta\}$ tal que para todo $x\in U_{\delta}(c)$ tiene $f(x)>0$ . Definimos una partición $P$ de $[a,b]$ como sigue $P:=\{[a,c-\delta,c+\delta,b]\}$ . Si ahora consideramos la suma inferior de Darboux obtenemos: $$L(f,P)=0(c-\delta-a)+m\delta+0(b-c+\delta)=m\delta>0,\\ \text{where } m:=\inf\{f(x)\mid x\in[c-\delta,c+\delta]\}.$$ Sabemos que para cada refinamiento de $P'$ de $P$ se mantiene: $L(f,P')\geq L(f,P)>0$ y por lo tanto $\sup\{L(f,P)\mid P \text{ is a partition of } [a,b]\}=\int_a^bf(x)dx>0$ .

Como $(A\implies B)\iff (\lnot B\implies \lnot A)$ la declaración $\int_a^bf(x)dx=0 \implies f= \hat{0}_{|[a,b]}$ debe ser verdadero. (Tenga en cuenta que si $c=a$ o $c=b$ Entonces podemos simplemente ajustar la partición en consecuencia).

¿Por qué es erróneo este enfoque? (lo dijo mi tutor)

Answer 1

La idea es buena. Creo que hay un pequeño punto que arreglar. El infimo que define $m$ puede producir $m=0$ aunque la función sea positiva en la vecindad $U$ . Sólo hay que redefinir $U$ por lo que la función es al menos $f(c)/2$ allí, en lugar de ser sólo positivo.