¿Es esta una forma correcta de probar $\partial A = \overline{A} \cap \overline{A^c}$ ?

Question

Mi libro tiene dos ejercicios adyacentes, en los que $\partial A$ es el conjunto de puntos límite de $A$ (un subconjunto de algún espacio métrico $X$ ) y $\overline{A}$ es el cierre de $A$ . La primera me pide que demuestre que $\overline{A} = A \cup \partial A$ que era simple y se discute en esta pregunta .

El segundo ejercicio me pide que demuestre que $\partial A = \overline{A} \cap \overline{A^c}$ . He demostrado esto de una manera que coincide con la solución del libro, pero también tengo otra prueba que utiliza el primer ejercicio, el hecho de que $\partial A = \partial A^c$ y las leyes de DeMorgan.

\begin{align*} \overline{A} \cap \overline{A^c} &= \left(A \cup \partial A\right) \cap \left(A^c \cup \partial A^c\right) \\ &= \left(A \cup \partial A\right) \cap \left(A^c \cup \partial A\right) \\ &= \partial A \cup \left(A \cap A^c\right) \\ &= \partial A \cup \varnothing \\ &= \partial A \end{align*}

¿Es una prueba correcta?

Answer 1

No veo muy bien cómo se pasa de $(A \cup \partial A) \cap (A^c \cup \partial A)$ a la línea inferior en un solo paso.

Yo ampliaría a 4 términos: $(A \cap A^c) \cup (\partial A \cap A^c) \cup (A \cap \partial A) \cup (\partial A \cap \partial A)$ donde el primer término es igual a $\emptyset$ , el último $\partial A$ y los términos medios $(\partial A \cap A) \cup (\partial A \cap A^c)$ puede reagruparse como $\partial A \cap (A \cup A^c) = \partial A \cap X = \partial A$ también, por lo que el grupo total pasa a ser efectivamente $\partial A$ .

Por supuesto, la definición del límite ya da la fórmula casi directamente: $x \in \partial A$ si toda vecindad abierta de $x$ se cruza con $A$ (es decir $x \in \overline{A})$ y cada barrio abierto de $x$ se cruza con $X \setminus A = A^c$ (es decir $x \in \overline{A^c}$ . Así que $\partial A = \overline{A} \cap \overline{A^c}$ casi por las definiciones de límite y cierre.