La respuesta a tu pregunta depende críticamente de lo que quieras decir con un "campo ordenado completo" $(F,<)$ . Aquí hay dos definiciones rivales:
1) [ añadió : secuencialmente ] Cauchy completo: cada secuencia Cauchy en $F$ converge.
2) Descuento completo: cada subconjunto no vacío $S \subset F$ que está limitado por encima tiene un límite superior mínimo.
(De hecho hay muchos otros axiomas equivalentes al 2): que toda secuencia monótona delimitada converge, que $F$ está conectado en la topología de orden, el el principio de inducción ordenada sostiene y así sucesivamente.)
Resulta que hay un único campo ordenado completo de Dedekind hasta el isomorfismo (¡único!), a saber, los números reales $ \mathbb {R}$ . Famoso $ \mathbb {R}$ es también Cauchy completo -- o, si lo prefieres, los campos ordenados completos de Dedekind satisfacen el teorema de Bolzano-Weierstass, que es suficiente para hacer converger las secuencias de Cauchy -- de modo que la completitud de Dedekind implica la completitud de Cauchy.
Lo contrario es cierto con una hipótesis adicional y un Arquímedes El campo de Cauchy-completo es Dedekind completo. Muestro esto en $ \S 12.7$ de estas notas utilizando métodos algo más sofisticados (a saber Redes de caucásicos ). Para una prueba más elemental, ver por ejemplo el Teorema 3.11 de esta bonita tesis de licenciatura .
Por otra parte, así como uno puede tomar la terminación "caucásica" de cualquier espacio métrico (o campo normalizado) y obtener un espacio métrico completo (o un campo normalizado completo), uno puede tomar la terminación caucásica de un campo ordenado no arquímico y obtener un campo ordenado que es caucásico completo pero no es dedecídico completo. El ejemplo más fácil de tal campo es probablemente el campo de funciones racionales $ \mathbb {R}(t)$ con el orden único que hace $t$ positivo e infinitamente grande.
Por alguna razón, estas sutilezas parecen ser difíciles de encontrar en los textos de análisis estándar. Yo mismo no aprendí sobre ellas hasta hace poco (así que, varios años después de mi doctorado). De hecho, escribí parte de este material como notas complementarias para un curso de nivel de segundo año que estoy enseñando actualmente sobre secuencias y series... pero todavía no he sido capaz de imponer estas notas a mis estudiantes. Hablé sobre campos ordenados en varias conferencias y parecía ser un nivel de abstracción más allá de lo que podían incluso lidiar significativamente (así que empezó a parecer un poco inútil).
