¿Cuál es un enunciado riguroso para "los sistemas lineales invariantes en el tiempo pueden representarse como convoluciones"?

Question

En los libros de procesamiento de señales, un teorema fundamental es que los sistemas lineales invariantes en el tiempo pueden representarse como una convolución con una distribución. ¿Podría dar un enunciado matemáticamente riguroso de este teorema, o remitir a un libro que lo incluya?

Edición: Por ejemplo, ¿sería lo siguiente una afirmación correcta?

"Sea S' el espacio de las distribuciones templadas. Si L es un operador lineal en S' que conmuta con las traslaciones, entonces existe una distribución h en S' tal que Lf = f*h para toda f en S'"

Answer 1

Creo que el resultado que buscas es el siguiente: Sea T un operador lineal continuo e invariante de traslación que mapea S en S' (en lugar de S' en S'). Entonces existe una distribución K s.t. Tf = f*K, para toda f en S.

La continuidad de T está referida a la topología habitual de Frechet en S y a la topología dual débil en S' (se quiere que f -> sea un funcional lineal continuo en S para cada g en S). Puedes encontrar una prueba (por incrustación de Sobolev) en Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces (E. Stein).

A partir de esto se pueden demostrar resultados análogos para los espacios L^p incrustando (invariantemente por traslación) S en L^p y L^q en S'.

Para reformular todo en el lenguaje de los multiplicadores basta recordar que la transformada de Fourier F es un isomorfismo topológico de S' y que F(f*K) = F(f)F(K) siempre que K sea una distribución templada y f sea una función de Schwartz. Entonces el operador T es un operador multiplicador F(Tf) = m F(f) para m = F(K).

Answer 2

¿Qué tal si: dejamos que T sea una transformación lineal en algún espacio apropiado de funciones tal que si g(x) = f(x+r) para algún r fijo, entonces (Tg)(x) = (Tf)(x+r). Entonces existe un núcleo k tal que Tf = f*k para toda f.

Obsérvese que el mapa de traslación τ _r que envía f a (x->f(x+r)) es una transformación lineal, y la hipótesis anterior sobre T puede enunciarse como Tτ _r \= τ _r T para todo r, es decir, que T conmuta con todas las traslaciones. Agitando las manos, los operadores lineales que conmutan entre sí tienden a tener otras cosas en común, como ser diagonales en la misma base. En este caso, eso se traduce (sin ánimo de juego de palabras) en que todos son representables mediante una convolución (es decir, son diagonales tras una transformada de Fourier).

Answer 3

Un resultado abstracto en la teoría de las álgebras de Banach, conocido como Teorema de Wendel, nos dice que el álgebra multiplicadora de L^1(G) es M(G), el álgebra de la medida, para cualquier grupo localmente compacto G.

Entonces, si G=R los reales, esto dice que si T:L^1(R) \rightarrow L^1(R) es un mapa lineal acotado que conmuta con las traslaciones, entonces hay alguna medida \mu en R tal que T(f) = \mu * f para todo f \in L^1(R). (¿Y tal vez este caso especial era conocido antes de Wendel?)

No sé mucho sobre distribuciones, pero esta área general cae en la teoría de los "Multiplicadores" creo.

Answer 4

El teorema del núcleo de Schwartz parece relevante aquí. Tal vez recuerdes de tus libros de procesamiento de señales que en el caso lineal pero no invariable en el tiempo seguimos obteniendo la salida como una integral $\int K(x,y) f(y)dy$ donde $f$ es la entrada. El teorema del núcleo hace que esto sea riguroso, según recuerdo, $K$ entonces puede ser una distribución.

Una vez que se tiene ese teorema, probablemente sea fácil obtener el enunciado que se desea.

Answer 5

Como respuesta más "realista", diría que los sistemas lineales tienen soluciones lineales, y la convolución es un operador lineal (o posiblemente bilineal, según el tipo de convolución) y como tal las soluciones de estas ecuaciones pueden representarse como convoluciones. La propiedad de invariabilidad temporal probablemente impone algunas restricciones adicionales a las propiedades de la convolución.