Como indica el título, tengo 3 eventos X, Y, Z en un espacio muestral cada uno con una probabilidad diferente de ocurrencia, y quería encontrar la probabilidad de que exactamente uno de ellos ocurra. Para referencia, Z es independiente de X e Y, mientras que X e Y son dependientes.
Sé que para solo dos eventos (digamos X e Y), usaría la fórmula: $P(X) + P(Y) - 2P(XY)$ ¿Hay alguna manera similar de resolver para encontrar uno de tres eventos? Gracias.
Entonces, ¿esto me daría la respuesta correcta: $P(A) + P(B) + P(C) - 2P(AB) - 2P(BC) - 2P(AC) - P(ABC)$? ¿O no necesito restar $P(ABC)$, ya que ya está cubierto en $2P(BC), 2P(AC), 2(AB)$?
Bueno, ¿cuántas veces has contado $ABC$? Se cuenta con un + en A, + en B, + en C, -2 en AB, -2 en BC, -2 en AC, y quieres que se cuente 0 veces en general.
Entonces debería agregar 3(ABC) a la ecuación anterior y eso me dará 0 veces en total, parece, ¿verdad?
Lo que deseas es:
$$ P(\text{Exactamente un evento})=P(X)+P(Y)+P(Z)-2P(X\cap Y)-2P(X\cap Z)-2P(Y\cap Z)+3P(X \cap Y \cap Z)=P(X)+P(Y)+P(Z)-2P(X\cap Y) $$ ya que $X, Y$ son independientes de $Z$. Necesitas agregar $3P(X\cap Y\cap Z)$ ya que lo restas seis veces ($2P(X\cap Y)$, $2P(X\cap Z)$ y $2P(Y\cap Z)$).
Edición: Corregí mi respuesta. Esta vez debería estar correcto...
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