$\sum_{n \geq 1} |c_n|^2 \leq \frac {1}{8}$

Question

Dejemos que $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser un $2\pi$ -periódica integrable de Riemann tal que $1 \leq f(x) \leq 2$ para todos $ x \in \mathbb{R}$ . Sea $f(x)$ ~ $\sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n e^{inx}$ sea la expansión de Fourier de $f$ . Demuestra que:

A) $\sum_{n \geq 1} |c_n|^2 \leq \frac {1}{8}$

B) Existe un continuo $2\pi$ -función periódica $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con expansión de Fourier $g(x)$ ~ $\sum_{n \geq 1} \frac {|c_n|}{n} \cos {nx}$ .

Sé que los coeficientes de Fourier se definen como $c_n=\frac {1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-inx}dx$ . También estoy familiarizado con el núcleo de Dirichlet como una forma alternativa de encontrar sumas parciales. Este es un problema de revisión de prueba por lo que una solución completa sería apreciada.

Answer 1

Para A), observe que $f(x) - c_0 \sim \sum_{n \neq 0} c_n e^{inx}$ . Entonces por la identidad de Parseval y la identidad $c_{-n} = \overline{c_n}$ tenemos

$$ 2 \sum_{n \geq 1} |c_n|^2 = \sum_{n \neq 0} |c_n|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x) - c_0|^2 \, dx. $$

Así que basta con demostrar que el LHS es $\leq \frac{1}{4}$ . Para ello, escribimos

\begin{align*} \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x) - c_0|^2 \, dx &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \left(\left(f(x) - \tfrac{3}{2}\right) - \left(c_0 - \tfrac{3}{2}\right) \right)^2 \, dx \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \left(f(x) - \tfrac{3}{2}\right)^2 \, dx - \left(c_0 - \tfrac{3}{2}\right)^2 \\ &\leq \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \left(f(x) - \tfrac{3}{2}\right)^2 \, dx. \end{align*}

Desde $1 \leq f(x) \leq 2$ se deduce que $|f(x) - \frac{3}{2}| \leq \frac{1}{2}$ . Si se aplica esta desigualdad se obtiene el límite deseado.

Para B), por la desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos

$$\sum_{n\geq 1} \frac{|c_n|}{n} \leq \left( \sum_{n\geq 1} |c_n|^2 \right)^{1/2}\left( \sum_{n\geq 1} \frac{1}{n^2} \right)^{1/2} < \infty. $$

Por lo tanto, según la prueba M de Weierstrass, la serie que define $g(x)$ converge uniformemente y así $g$ es continua.