Decidir entre implicación y conjunción

Question

Este es uno de los problemas resueltos en la obra de Velleman How to prove libro:

Analice las formas lógicas de los siguientes enunciados: 1) A Juan le gusta exactamente una persona.

Que L(x, y) signifique "a x le gusta y", y que j signifique Juan. Traducimos esta afirmación en símbolos gradualmente:

(i) x(a Juan le gusta x y a Juan no le gusta nadie más que x).

(ii) x(L( j, x) ¬y(John le gusta y y $\ne$ x)).

(iii) x(L( j, x) ¬y(L( j, y) y $\ne$ x)).

Pero cuando trato de pensar esto en términos de implicación, no suena mal:

(i) x(Si a Juan le gusta x entonces a Juan no le gusta nadie más que x).

(ii) x(L( j, x) -> ¬y(A Juan le gusta y y $\ne$ x)).

(iii) x(L( j, x) -> ¬y(L( j, y) y $\ne$ x)).

Entonces, ¿cómo deciden los lógicos cuándo usar implicaciones y cuándo usar usar la conjunción? ¿Existe alguna pauta general para evitar este escollo?

Answer 1

Pero la declaración dice claramente que hay existe alguien que John de hecho, le gusta . El uso de la implicación no garantiza la existencia de alguien que le guste a Juan.

Todo lo que dice tu interpretación es:

SI A Juan le gusta una persona x, luego no le gusta ninguna otra.

Eso no nos dice absolutamente nada sobre la posibilidad de que Juan no le gusta persona x. Por ejemplo, considere dos posibles escenarios que harían que su afirmación fuera cierta:

• A John no le gusta nadie, incluida la persona $x$ o

• A John le gusta todo el mundo menos la persona $x$

porque en cada caso, el antecedente de su implicación es falso.

¿Qué conjunción nos permite afirmar que, de hecho, hay existe alguien x que le gusta a Juan, Y resulta que no hay nadie más (aparte de ese x) que le guste a Juan.