Yo le estaba diciendo a alguien sobre el éxito del producto y le preguntó si era de la categoría de producto en la categoría de base de los espacios y de inmediato me dijo que sí, pero después de un momento nos dimos cuenta de que eso no era bueno. Más bien, la categoría de producto de $(X,x_0)$ $(Y,y_0)$ es sólo $(X\times Y,(x_0,y_0))$. (Parece que en cualquier hormigón categoría $(\mathcal{C},U)$, si tenemos un producto (no un hormigón categoría siempre tienen los productos?) entonces debe ser que $U(X\times Y)=U(X)\times U(Y)$. Pero no podía demostrarlo. Que debo aprender de la categoría de teoría. Tal vez functors conmuta con los productos o de algo). De todos modos, aquí está lo que yo me pregunto: es la principal razón por la que nos gusta el smash producto de que se da el derecho exponencial de la ley? Es fácil ver que el producto $\times$ me dio por encima de ha $F(X\times Y,Z)\not\cong F(X,F(Y,Z))$ sólo por tomar por ejemplo,$X=Y=Z=S^0$.
Respuestas
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Dos razones por las que queremos que el smash producto:
- Hay una natural homeomorphism $(X\times Y)^+ \cong X^+ \wedge Y^+$ para cualquiera de los espacios de $X$$Y$. Este es uno de los lugares que el smash producto surge naturalmente - desea describir el compactification de un producto en términos de cada uno de los factores, ¿cómo hacerlo? Resulta que el éxito del producto es la mejor manera de responder a la pregunta. En particular, el uso de un poco más sugerentes de la notación, esto nos da el resultado de la $S^V \wedge S^W \cong S^{V \oplus W}$ para espacios vectoriales $V$ $W$ ... parece familiar?
- Como Jonas dijo, el éxito del producto es el análogo del producto tensor. Recordemos que el producto tensor para $R$-módulos no es de la categoría de producto, pero es a la izquierda medico adjunto del Hom functor. Esto le da todo tipo de propiedades atractivas; es uno de los motivos por los que hay un buen dualidad entre Tor y Ext, y todo tipo de otras cosas bonitas. Sin embargo: no creo que esta analogía es increíblemente útil hasta que se mueva a la estabilidad de la categoría... de ahí el éxito del producto está mucho más cerca de un honesto producto tensor, ya que estamos trabajando con un aditivo de la categoría. Usted puede comenzar a hacer sentido de lo que significa "romper más de un anillo de espectro" como uno de los "tensores de más de un anillo" (al menos creo que se puede; usted sabe más acerca de estable cosas que yo.)
Como una nota del lado, en respuesta a la frase entre paréntesis: Si quieres saber cuando algún functor conserva los productos o co-productos o algún tipo de límite, es generalmente más fácil que primero revise y vea si tiene un adjunto. Ver wikipedia en adjoints y (co)continua functors.
De nLab:
El éxito del producto es el producto tensor en el cerrado monoidal categoría de punta conjuntos. Es decir, $$\operatorname{Fun}_*(A\wedge B,C)\cong \operatorname{Fun}_*(A,\operatorname{Fun}_*(B,C))$$ Aquí, $\operatorname{Fun}_*(A,B)$ es el conjunto de punto de base-la preservación de las funciones de$A$$B$, sí se hizo en la punta de su conjunto tomando como punto de base de la función constante de todos los de $A$ para el punto de base en $B$.
Hay más información en el enlace. Debo admitir que yo no sé nada acerca de esto, pero yo recomiendo nLab como un buen lugar para buscar a la categoría de lugar de las construcciones matemáticas.
Esto es bastante (derivados de, supongo) Jonas Meyers respuesta, pero un poco más concreto, y como yo sé por qué estamos interesados en ella. Hay una contigüidad $\hom_*(\Sigma X, Y)\cong\hom_*(X,\Omega X)$ donde$\Sigma X:=S^1\wedge X$$\Omega X:=\hom_*(S^1,X)$. Si definimos $\pi_n(X):=\pi_0(\Omega^n X)$, o $\pi_n(X):=[S^n,X]_*$, obtenemos $\pi_n(X):=\pi_0(\Omega^n X)\cong[S^0,\Omega^n X]_*\cong[\Sigma^n S^0,X]_*\cong[S^n,X]_*$, que es una relación interesante.
