Hallar la longitud del lado de un hexágono

Question

En un hexágono convexo $ABCDEF$ Los seis lados son congruentes, $\angle A$ y $\angle D$ son ángulos rectos. Y $\angle B$ , $\angle C$ , $\angle E$ y $\angle F$ son congruentes. El área de la región hexagonal es $2116(\sqrt{2} +1)$ . Encuentre $AB$ . Es bastante fácil establecer una ecuación con la variable $x$ para la longitud del lado. Lo difícil es esto. Tienes que encontrar la respuesta sin usar una calculadora.

Answer 1

Si ampliamos $AB$ y $DC$ para reunirse en $G$ y de forma similar, $AF$ y $DE$ para reunirse en $H$ , entonces el polígono $AGDH$ es un cuadrado de lado $x(1 + \frac{1}{\sqrt{2}})$ cuya área es igual al área del hexágono más el área de un cuadrado de lado $x/\sqrt{2}$ . Dado que el área del hexágono es $2116(\sqrt{2}+1)$ se deduce que $$2116(\sqrt{2}+1) = |AGDH| - (x/\sqrt{2})^2 = x^2(1+\tfrac{1}{\sqrt{2}})^2 - \frac{1}{2}x^2.$$ El resto es simple álgebra, fácilmente hecha a mano.

Answer 2

Dibuja 2 líneas, $FB$ y $EC$ .
Ahora tenemos 2 triángulos ( $ABF$ & $CDE$ ) y 1 rectángulo ( $FBCE$ ).
Dejemos que $AB$ sea $x$ cm de largo.
Área de los triángulos $ABF$ y $CDE$ : $2*1/2*x*x = x^2$
Duración de $FB$ = Longitud de $CE$ = $\sqrt{1+1}*x$ = $\sqrt2x$
Área del rectángulo = $\sqrt2x*x$ = $\sqrt2x^2$
Área de 2 triángulos más un rectángulo: $x^2+\sqrt2x^2$ = $(\sqrt2+1)x^2$ = $2116(\sqrt2+1)$
Creo que le dejaré que responda al resto.
Si alguien necesita más ayuda, se proporciona un spoiler.

¡! Reordenando la ecuación, obtenemos:
$x^2$ = 2116
$x$ = $\sqrt{2116}$ = $\sqrt{2*2*529}$ = $2\sqrt{529}$ = $2*17$ = $34$