Integral cero de medible $f$ en cada intervalo implica $f=0$ ?

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función medible de Borel, tal que $\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx=0$ por cada $a<b$ en $\mathbb{R}.$ ¿Es cierto que $f(x)=0$ por cada $x\in \mathbb{R}$ ?

Comentarios: el punto de partida de esto es demostrar que la función de densidad (medible por Borel) $f$ (si existe) de una variable aleatoria simétrica $X$ (lo que significa que $X,~-X$ tienen cdf's comunes) es uniforme. Si mi pregunta tiene una respuesta positiva, se deduce fácilmente.

Muchas gracias por los comentarios.

Answer 1

La solución del mosquito: la integral define una medida con signo en $\Bbb R$ : $$\mu(A) = \int_A f = 0.$$ (el $ = 0$ se puede demostrar fácilmente)

Por la unicidad a.e. de la derivada de Radon-Nikodym, $f = 0$ a.e.

Answer 2

Consideremos la medida de Borel $\mu(A)=\int_Af$ . Tenemos $$ \mu(A)=\inf\sum_{n=1}^\infty\int_{I_n}f, $$ donde el mínimo se toma sobre todas las cubiertas contables de $A$ por intervalos $I_n$ . Así que $\mu(A)=0$ por cada $A$ . Ahora basta con considerar los conjuntos de Borel donde $f>0$ y donde $f<0$ .

Answer 3

Hay que asumir que $f$ es localmente integrable (o que $f\ge0$ ) para que esto tenga sentido.

Suponiendo que: Se deduce por DCT (o MCT) que $\int_V f=0$ para todo conjunto abierto acotado $V$ ya que cualquier $V$ es una unión disjunta contable de intervalos abiertos. Por lo tanto, $\int_K f=0$ para cada compacto $K$ ya que $K=V_1\setminus V_2$ donde $V_1$ y $V_2$ son conjuntos abiertos acotados con $V_2\subset V_1$ .

Supongamos ahora que $f$ es de valor real. Sea $E_n=\{x:f(x)>1/n\}$ . Si $m(E_n)>0$ entonces existe un compacto $K\subset E_n$ con $m(K)>0$ y por lo tanto $\int_K f>0$ , contradiciendo lo anterior. Así que $m(E_n)=0$ . Así que la unión de los $E_n$ tiene medida cero, por lo tanto $f\le 0$ casi en todas partes. Del mismo modo, $f\ge0$ casi en todas partes.