Dado un número digamos $x$ ¿Cómo se comprueba si puede convertirse en hipotenusa de un triángulo rectángulo y los demás lados deben ser enteros?

Question

Dado un número digamos $x$ Cómo comprobar si puede convertirse en hipotenusa de un triángulo rectángulo y los demás lados deben ser enteros

Por ejemplo:

$5$ puede ser hipotenusa como sus otros lados $3$ & $4$ son números enteros.

$13$ también puede ser la hipotenusa como sus otros lados $12$ & $5$ son números enteros.

$12$ no puede ser la hipotenusa porque los otros dos lados no pueden ser enteros.

Answer 1

Un número entero $N>0$ puede ser la hipotenusa de un triángulo rectángulo de lados enteros si y sólo si tiene un factor primo $p \equiv 1 (4)$ (es decir $p$ es de la forma $4k+1$ con un número entero $k$ ).

El esquema de la prueba es el siguiente:

• Si $N^2 = a^2+b^2$ entonces $(kN)^2 = (ka)^2+(kb)^2$ .
• Cualquier primo $p \equiv 1 (4)$ puede representarse como $x^2+y^2$ con números enteros positivos $x,y$ ( Teorema de Fermat sobre las sumas de dos cuadrados ). Y luego $p^2 = (x^2+y^2)^2 = (x^2-y^2)^2 + (2xy)^2$
• Todos los demás números sólo tienen la representación trivial $N^2 = N^2+0^2$ (véase por ejemplo aquí ), que no forma un triángulo.

Answer 2

Se sabe que cualquier triple pitagórico primitivo $a^2 + b^2 = c^2$ está en la forma $$ (a, b, c) = (2uv, u^2 - v^2, u^2 + v^2) $$ para algunos números naturales $u>v$ Así que básicamente tienes que comprobar si tu hipotenusa se puede escribir como la suma de dos cuadrados. Para confirmar tus ejemplos, $5 = 4 + 1$ y $13 = 9 + 4$ , mientras que $12$ no es la suma de dos cuadrados (no se puede sumar hasta $12$ utilizando sólo dos números de $\{1, 4, 9\}$ ).

Por supuesto, es posible que tu número sea la hipotenusa de algún triple no primitivo. Esto ocurre si tiene un divisor que puede escribirse como la suma de dos cuadrados. Por ejemplo, si al menos uno de sus factores primos es congruente con $1$ modulo $4$ .