$V1,V2,V3$ Ortonormal.

Question

Dado $v_1,v_2,v_3$ vectores en $R^3$ . Supongamos que ${v_1,v_2,v_1+v_3}$ es una base ortonormal.

Computar $||v_3||$ .

Bueno, empecé diciendo que $(v_1+v_3) \bullet (v_1+v_3) = 1$ .

Y, $v_1 \bullet (v_1+v_3) = 0$

A partir de aquí, necesito tu ayuda. Se agradece mucho.

Answer 1

Vas por buen camino: $$\|v_3\|^2 = \|(v_1 + v_3) - v_1\|^2 = (v_1 + v_3, v_1 + v_3) - 2(v_1 + v_3, v_1) + (v_1, v_1) = 1 - 0 + 1 = 2,$$ desde $v_1 + v_3$ y $v_3$ son ortonormales.

Answer 2

Una pista: A partir de esta relación $$\begin{align} 0 &=v_1\cdot(v_1+v_3)\\ &=\|v_1\|^2+v_1\cdot v_3\\ &=1+v_1\cdot v_3 \end{align}$$ podemos calcular $v_1\cdot v_3$ . Entonces, desde $$\begin{align} 1 &=(v_1+v_3)\cdot(v_1+v_3)\\ &=\|v_1\|^2+2v_1\cdot v_3+\|v_3\|^2\\ &=1+2v_1\cdot v_3+\|v_3\|^2 \end{align}$$ podemos calcular $\|v_3\|$ .

Answer 3

Tenga en cuenta que $$\begin{eqnarray}v_1 \bullet v_3 &=& v_1 \bullet (v_1 + v_3 - v_1) \\ &=& v_1 \bullet (v_1+v_3) - ||v_1||^2 \\ &=& -1 \end{eqnarray}$$ y $$\begin{eqnarray}(v_1+v_3) \bullet (v_1+v_3) &=& v_1 \bullet (v_1+v_3) + v_3 \bullet (v_1 + v_3) \\ &=& v_1 \bullet v_1 + v_1 \bullet v_3 + v_3 \bullet v_1 + v_3 \bullet v_3 \\ &=& ||v_1||^2 + 2 (v_1 \bullet v_3) + ||v_3||^2 \\ \end{eqnarray}$$ lo que da como resultado que $$\begin{eqnarray}||v_3||^2 &=& ||(v_1+v_3)||^2 - ||v_1||^2 - 2(v_1 \bullet v_3) \\ &=& 2\end{eqnarray}$$ Así, $||v_3|| = \sqrt 2$ .