¿Qué es? $\mathbb{F}_p(\sqrt{X})\otimes_{\mathbb{F}_p(X)} \mathbb{F}_p(\sqrt{X})$ ?

Question

Estoy tratando de entender lo que $\mathbb{F}_p(\sqrt{X})\otimes_{\mathbb{F}_p (X)} \mathbb{F}_p(\sqrt{X})$ es. $\mathbb{F}_p(\sqrt{X})$ es el campo de las funciones racionales en $\sqrt{X}$ . ¿A qué es isomorfo? ¿Es un campo?

Me he dado cuenta de que $\mathbb{F}_p (X)$ es un subcampo de $\mathbb{F}_p (\sqrt X)$ . Pero no estoy muy seguro de cómo proceder a partir de aquí.

Answer 1

Esto es algo similar a una de sus preguntas anteriores. Tenga en cuenta que $\mathbb{F}_{p}(\sqrt{X}) \cong \mathbb{F}_{p}(X)[T]/\langle T^{2}- X\rangle$ . Este polinomio es irreducible por el criterio de Eisenstein, y es separable si $p \neq 2$ . En este caso, tenemos $$\mathbb{F}_{p}(\sqrt{X}) \otimes_{\mathbb{F}_{p}(X)} \mathbb{F}_{p}(\sqrt{X}) \cong \mathbb{F}_{p}(\sqrt{X}) \otimes_{\mathbb{F}_{p}(X)} \mathbb{F}_{p}(X)[T]/\langle T^{2} -X \rangle \cong \mathbb{F}_{p}(\sqrt{X})[T]/\langle T^{2}-X\rangle$$

Como se ha señalado anteriormente, si $p \neq 2$ entonces $T^{2}-X$ factores como $(T+\sqrt{X})(T-\sqrt{X})$ en $\mathbb{F}_{p}(\sqrt{X})$ por lo que por el Teorema Chino del Resto,

$$\mathbb{F}_{p}(\sqrt{X})[T]/\langle T^{2}-X\rangle = \mathbb{F}_{p}(\sqrt{X})[T]/\langle (T-\sqrt{X})(T+\sqrt{X}) \rangle \cong \\ \mathbb{F}_{p}(\sqrt{X})[T]/\langle (T-\sqrt{X}) \rangle \times \mathbb{F}_{p}(\sqrt{X})[T]/\langle (T+\sqrt{X}) \rangle \cong \mathbb{F}_{p}(\sqrt{X}) \times \mathbb{F}_{p}(\sqrt{X})$$

Por otro lado, si $p = 2$ entonces $T^{2}-X$ factores como $(T-\sqrt{X})^{2}$ Así que $\mathbb{F}_{p}(\sqrt{X})$ no es una extensión separable de $\mathbb{F}_{p}(X)$ . En este caso, no sé qué progreso se puede hacer en la simplificación del producto tensorial en cuestión - puede no tener una descripción agradable.