En la descripción de un colector, a menudo se parte de la definición matemática de que $M=\cup M_i$ y si $m\in M_i \subset M$ donde m es un punto de la variedad, entonces es mapeado por un mapa uno a uno a $\mathbb{R}^n$ . A continuación, otro caso en el que el punto $m \in M_i \cap M_j$ , entonces está definido por un mapa más. Donde quiero ir es hacia el mapa compuesto $\phi_j \circ \phi_i^{-1}$ que es de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^n$ . Los libros y todas las referencias conocidas (cualquier referencia sobre colectores) dicen que el mapa compuesto está entonces especificado por el conjunto de funciones $x'^{\mu}(x^{\nu})$ . Quiero saber por qué somos capaces de hacer este vínculo entre un mapa compuesto y esas funciones. ¿Qué significa esto?
Respuesta
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Gran parte de tu pregunta se reduce realmente a cómo cambiar de coordenadas, lo que ya ocurre en $\mathbb{R}^n$ pero normalmente es por conveniencia. En la Relatividad General, puede que te veas obligado a cambiar las coordenadas. Y también están las implicaciones físicas de las transformaciones de coordenadas generales. Esta respuesta tratará de abordar todas estas cuestiones.
En primer lugar, vamos a abordar las coordenadas, cómo cambiar y por qué en la Relatividad General a veces te ves obligado a cambiar de coordenadas. Empezaremos con un sistema de coordenadas único. Para un evento $m$ (un punto de su colector) en una región del espaciotiempo $M_i \subset M$ , donde $M$ es el espaciotiempo total, entonces puede haber un mapa de coordenadas $\phi_i$ que es un mapeo uno a uno de todos los $M_i$ a $\mathbb{R}^4$ . Así que específicamente hay $4$ números llamados coordenadas para cada evento $m$ y cada evento distinto en $M_i$ obtiene un conjunto diferente de $4$ números y viceversa. Por lo tanto, si se observan diferentes coordenadas se obtienen diferentes puntos en $M_i\subset M$ pero no importa que se limiten a cambiar sus coordenadas, siempre estarán en $M_i$ desde $\phi_i^{-1}$ siempre se asigna a $M_i$ .
Pero en la Relatividad General, a veces te ves obligado a tener múltiples sistemas de coordenadas porque ningún sistema de coordenadas funciona para todo el espaciotiempo. Esto ocurre a veces si el espaciotiempo tiene una topología no trivial. Esto es técnicamente posible incluso sin curvatura, e incluso sin materia de ningún tipo. Un ejemplo es un universo vacío tipo Pac-Man. O un universo que es plano e infinito (y vacío) espacialmente pero el tiempo es como un ángulo, después de $2\pi$ unidades de tiempo, estás de vuelta al pasado. Voy a entrar en detalles sobre esto último.
Así que veamos ese ejemplo de espaciotiempo. Su espaciotiempo puede ser $\mathbb{R}^3\times\mathbb{S}^1$ Es como un cilindro con el tiempo envolviendo, pero tienes tres dimensiones de espacio plano extendiéndose, no una. Si quieres un conjunto aún más explícito puedes considerar: $$M=\left\{(v,w,x,y,z)\in \mathbb{R}^5: v^2+w^2=1\right\}.$$
Sin embargo, no debe tomarse al pie de la letra la mera apariencia de que $M$ es un subconjunto de $\mathbb{R}^5$ . El espacio-tiempo es simplemente lo que es para producir los resultados que vemos experimentalmente y observacionalmente. Puede haber múltiples objetos matemáticos que predigan los mismos resultados experimentales y observacionales, y sería poco científico dar demasiada importancia a una característica accidental de uno solo de esos objetos. Un objeto que hace las mismas predicciones que $M$ arriba es:
$$\left\{\left\{(w+n2\pi,x,y,z):n\in\mathbb{Z}\right\}\subset \mathbb{R}^4: w,x,y,z \in \mathbb{R}\right\}.$$
Así que veamos $$M=\left\{(v,w,x,y,z)\in \mathbb{R}^5: v^2+w^2=1\right\},$$ y definir $$M_1=\left\{(v,w,x,y,z)\in \mathbb{R}^5: v^2+w^2=1, v \leq \sqrt{2}/2\right\}, \text{ and}$$
$$M_2=\left\{(v,w,x,y,z)\in \mathbb{R}^5: v^2+w^2=1, v \geq -\sqrt{2}/2\right\}.$$
Por construcción, $M_i\subset M$ por lo que ahora podemos definir nuestros mapas de coordenadas mediante $\phi_1^{-1}(t,x,y,z)$ = $(-\cos(3\arctan(t)/2),\sin(3\arctan(t)/2),x,y,z)$ y por $\phi_2^{-1}(t,x,y,z)$ = $(\cos(3\arctan(t)/2),\sin(3\arctan(t)/2),x,y,z).$ Ahora vemos que se puede mirar cualquier valor de $t$ el que quieras, pero siempre que utilices sólo uno de esos mapas de coordenadas, $\phi_i^{-1}$ Siempre estarás en $M_i$ .
Para ser un colector, técnicamente sólo necesitamos la continuidad de $\phi_j\circ \phi_i^{-1}$ y $\phi_i\circ \phi_j^{-1}$ . Pero eso no es suficiente para hacer física, queremos ser capaces de hacer cálculo también. Pero esos mapas compuestos son realmente diferenciables, así que podemos hacer cálculo en un parche de coordenadas y transferir nuestras derivadas y demás. Así que ahora si quieres describir una curva en $M$ de $(-1,0,0,0,0)\in M_1$ a $(1,0,0,0,0)\in M_2$ que se mueve de manera constante y deja $x=y=z=0$ y todo el camino tiene $w\geq 0$ entonces puedes imaginarlo como una curva en $\mathbb{R}^4$ que comienza en el origen y va en el $-t$ dirección. Utilice $\phi_1{-1}$ para girar esa curva en $\mathbb{R}^4$ en una curva en $M_1$ . Finalmente las curvas entran $M_1\cap M_2$ pero no importa qué valor de $t$ que ponemos en $\phi_1^{-1}(t,0,0,0)$ Nunca vamos a estar fuera $M_1$ . Pero hay un valor de $t$ ( $t=\tan (\pi/3)$ ) para el que $\phi_1^{-1}(t,0,0,0)$ = $(0,1,0,0,0)$ y en este punto estamos en $M_1\cap M_2$ para poder empezar a utilizar el otro mapa de coordenadas $\phi_2$ y hacer que gire la curva en $M_1\cap M_2$ en una curva en $\mathbb{R}^4$ . En este punto puede ser útil imaginar dos copias de $\mathbb{R}^4$ uno por cada mapa de coordenadas. Y tenga en cuenta que cuando $t$ está lo suficientemente cerca de cero ( $|t|\leq\tan (\pi/6)$ ), no está en $M_1\cap M_2$ pero tan pronto como $t$ está demasiado lejos de cero ( $|t|>\tan (\pi/6)$ ) en una copia de $\mathbb{R}^4$ cualquier punto de una copia de $\mathbb{R}^4$ es efectivamente en $M_1\cap M_2$ y por lo tanto también en la otra copia de $\mathbb{R}^4$ . La topología requiere que se cambie entre las dos coordenadas.
Esto no es diferente de cambiar las coordenadas en $\mathbb{R}^n$ , se obtienen números diferentes pero es el mismo punto. Así que su pregunta se reduce a cómo cambiar de coordenadas en un mapa a coordenadas en un mapa diferente.
Si tiene coordenadas en $M_i$ tienes $ n$ números $ (x_1,x_2, \dots x_n)$ y si se utiliza el mapa de coordenadas $ \phi_i^{-1}$ puedes tomar esas coordenadas y obtener el punto $m=\phi_i^{-1}(x_1,x_2, \dots x_n)$ a la que corresponden en ese sistema de coordenadas. Entonces puedes utilizar el mapa de coordenadas $\phi_j$ para obtener el $n$ números que mismo corresponde al punto en el $ M_j$ sistema de coordenadas, las coordenadas $\phi_j(m)=\phi_j(\phi_i^{-1}(x_1,x_2, \dots x_n))$ .
Ahora, mirando a $\phi_j \circ \phi_i^{-1}$ vemos que toma las coordenadas en el $M_i$ sistema de coordenadas y nos da las coordenadas en el $M_j$ sistema de coordenadas. Ya que nos da la $n$ coordenadas en el $M_j$ sistema de coordenadas podríamos tener en su lugar $n$ funciones. Cada función nos da una de las $n$ números que necesitamos.
Y cada una de esas funciones necesita saber en qué punto estamos, por lo que necesitan conocer todas las coordenadas del otro sistema. Así que $x'^{\mu}(x^{\nu})$ es una función que nos da el $\mu$ -coordenada en el $M_j$ sistema de coordenadas. Y utiliza todos los $n$ coordenadas del $M_i$ sistema de coordenadas, y el término $x^{\nu}$ es un marcador de posición para todas las coordenadas $x^0, x^1, \dots x^n$ en el $M_i$ sistema de coordenadas.
Como ejemplo sencillo, puede pasar de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas en $\mathbb{R}^3$ . Por ejemplo $x'^{\mu}(x^{\nu})=x'^{\mu}(x^0,x^1,x^2)=x'^{\mu}(x,y,z)$ y si seleccionamos $\mu$ para ser la coordenada radial obtenemos $x'^{\mu}(x,y,z)=r(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$
De nuevo, en la región de solapamiento todo lo que estás haciendo es cambiar efectivamente los sistemas de coordenadas en esa misma región de solapamiento. Lo que ocurre es que tienes que cambiar los sistemas de coordenadas para llegar a una región diferente de tu colector. Mientras que en $\mathbb{R}^n$ cuando se cambia de sistema de coordenadas suele ser por conveniencia, no porque haya que hacerlo.
Ya que mencioné que mi ejemplo puede surgir en la Relatividad General, lo detallaré. Básicamente, en cualquier parche de coordenadas $M_i$ Puedes fingir que estás en $\mathbb{R}^4$ y tratar $3\arctan (t)/2$ como si se tratara del tiempo, así que utiliza la métrica $$ds^2=\frac{9}{4}\left(\frac{1}{1+t^2}\right)^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2.$$
Calculando el Tensor de Einstein en cualquiera de los dos parches de coordenadas obtenemos que es cero, por lo que esto corresponde a que no hay materia (ni energía, ni momento, ni tensión). Por lo tanto, se trata de una solución de vacío de la ecuación de campo de Einstein en cualquiera de los parches de coordenadas, los parches se superponen y la transición es diferenciable. Así que es una solución. Es básicamente un aburrido espacio vacío sin nada en él, y el tiempo sólo se repite a veces (que era la forma más sencilla de obligar a usar dos parches de coordenadas).
Veamos ahora las implicaciones físicas de las transformaciones de coordenadas generales. Seguramente no debería importar qué mapa de coordenadas utilices, y no debería importar si utilizas coordenadas esféricas, coordenadas cilíndricas o coordenadas cartesianas, la física debería ser la misma. Este es, literalmente, el principio físico que nos ha permitido cambiar de sistema de coordenadas. Pero una vez que tenemos otras cosas (como ese tensor métrico), entonces también tenemos que asegurarnos de que producen la misma física en los dos sistemas de coordenadas.
Esto no siempre es evidente. Por ejemplo, resulta que elegí una métrica y un sistema de coordenadas en el que la métrica era igual en ambos sistemas de coordenadas. En general hay que escribir una métrica para cada sistema de coordenadas. Por ejemplo, la métrica
$$ds^2=dw^2-dx^2-dy^2-dz^2$$ y la métrica $$ds^2=dw^2-dr^2-r^2\left(d\theta^2+\sin^2(\theta)d\phi^2\right)$$ son en realidad la métrica de Minkowski con una transición $z=r\cos (\theta)$ , $y=r\sin (\theta) \sin (\phi )$ y $x=r\sin (\theta) \cos (\phi )$ Por lo tanto, también son soluciones de vacío, pero el tiempo no se repite, y el sistema de coordenadas cartesianas en realidad cubre todo el espaciotiempo, por lo que no necesitamos utilizar transformaciones de coordenadas si no queremos.
Existe todo un método para escribir las ecuaciones en términos de tensores definidos en las coordenadas, de modo que no importa el sistema de coordenadas que se utilice. Y este método tiene la característica añadida de que las propias ecuaciones (como ecuaciones tensoriales) tienen exactamente la misma forma en cada sistema de coordenadas, siempre que el mapa compuesto que transita de un sistema de coordenadas a otro sea diferenciable como un mapa de $\mathbb{R}^4$ a $\mathbb{R}^4$ .
