Son $\forall x\exists yP(x,y)$ y $\forall x\exists yP(y,x)$ ¿equivalente?

Question

1 . Para todo x, existe y tal que P(x,y) donde P es un predicado.

2. Para todo x, existe y tal que P(y,x)

¿Son ambas afirmaciones equivalentes?

Answer 1

Tomemos el dominio de ambos $x$ y $y$ para ser el conjunto de todas las personas.

Dejemos que $P(x, y)$ denotan "x ama a y". Así que $$\forall x \exists y(P(x, y))$$ significa "Todo el mundo ama a alguien".

Sin embargo, $P(y, x)$ denota "y ama a x" o, "x es amado por y": $$\forall x \exists y(P(y, x))$$ significa que "todos son amados por alguien".

Answer 2

Considere $$P(x,y) \ \ :\Longleftrightarrow \ \ \ x>y$$ en el universo $\mathbf N=\{1,2,3, \dotsc \}$ .